Wiki-Quellcode von BPE 12 Einheitsübergreifend
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
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1.1 | 1 | {{seiteninhalt/}} |
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3.1 | 3 | {{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5, K6" niveau="p" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}} |
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1.1 | 4 | Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}. |
| 5 | Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}. | ||
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| 7 | Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//. | ||
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| 9 | [[image:LhospitalPlot.PNG||width="600"]] | ||
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| 11 | Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen. | ||
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| 13 | Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt: | ||
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| 15 | {{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}} | ||
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| 17 | (Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.) | ||
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| 19 | //Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.// | ||
| 20 | {{/aufgabe}} | ||
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4.1 | 22 | {{aufgabe id="Grad, Skizze" afb="" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_8.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}} |
| 23 | Eine in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit erster Ableitungsfunktion {{formula}}f'{{/formula}} und zweiter Ableitungsfunktion {{formula}}f''{{/formula}} hat folgende Eigenschaften: | ||
| 24 | * {{formula}}f{{/formula}} hat bei {{formula}}x_1{{/formula}} eine Nullstelle. | ||
| 25 | * Es gilt {{formula}}f'(x_2)=0{{/formula}} und {{formula}}f''(x_2)\neq 0{{/formula}}. | ||
| 26 | * {{formula}}f'{{/formula}} hat ein Minimum an der Stelle {{formula}}x_3{{/formula}}. | ||
| 27 | Die Abbildung zeigt die Positionen von {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} und {{formula}}x_3{{/formula}}. | ||
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| 29 | 1. Begründe, dass der Grad von {{formula}}f{{/formula}} mindestens 3 ist. | ||
| 30 | 1. Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von {{formula}}f{{/formula}}. | ||
| 31 | {{/aufgabe}} | ||
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1.1 | 33 | {{seitenreflexion/}} |