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Wiki-Quellcode von BPE 12 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/10/14 08:57
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Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
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Holger Engels 3.1 3 {{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5, K6" niveau="p" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
Holger Engels 1.1 4 Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
5 Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
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7 Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
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9 [[image:LhospitalPlot.PNG||width="600"]]
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11 Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
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13 Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
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15 {{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
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17 (Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
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19 //Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
20 {{/aufgabe}}
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akukin 10.1 22 {{aufgabe id="Grad, Skizze" afb="" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_8.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 4.1 23 Eine in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit erster Ableitungsfunktion {{formula}}f'{{/formula}} und zweiter Ableitungsfunktion {{formula}}f''{{/formula}} hat folgende Eigenschaften:
24 * {{formula}}f{{/formula}} hat bei {{formula}}x_1{{/formula}} eine Nullstelle.
25 * Es gilt {{formula}}f'(x_2)=0{{/formula}} und {{formula}}f''(x_2)\neq 0{{/formula}}.
26 * {{formula}}f'{{/formula}} hat ein Minimum an der Stelle {{formula}}x_3{{/formula}}.
akukin 8.1 27
akukin 6.1 28 Die Abbildung zeigt die Positionen von {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} und {{formula}}x_3{{/formula}}:
29 [[image:Koordinatensystem.PNG||width="270" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 4.1 30 1. Begründe, dass der Grad von {{formula}}f{{/formula}} mindestens 3 ist.
31 1. Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
32 {{/aufgabe}}
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akukin 10.1 34 {{aufgabe id="Kosinusfunktion, Periode, Steigung" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_12.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 9.1 35 Eine in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Kosinusfunktion {{formula}}f{{/formula}} hat die Periode {{formula}}p{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}\left(\frac{p}{2}\middle| p\right){{/formula}} ist ein Hochpunkt des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}, der Punkt {{formula}}\left(\frac{p}{4}\middle|\frac{p}{2}\right){{/formula}} ein Wendepunkt. Bestimme die Steigung des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}\frac{p}{4}{{/formula}}.
36 {{/aufgabe}}
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akukin 11.1 38 {{aufgabe id="Lokale und mittlere Änderungsrate" afb="" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_4.pdf ]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
39 Gegeben sind die Funktion {{formula}}f:\ x\mapsto\sqrt{x}{{/formula}} mit Definitionsmenge {{formula}}\mathbb{R}_0^+{{/formula}} und die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit der Gleichung {{formula}}y=\frac{1}{4}x{{/formula}}. Betrachtet wird das Intervall, das von den x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} und der Gerade {{formula}}g{{/formula}} begrenzt wird.
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41 In diesem Intervall gibt es eine Stelle, an der die lokale Änderungsrate von {{formula}}f{{/formula}} mit der mittleren Änderungsrate von {{formula}}f{{/formula}} in diesem Intervall übereinstimmt. Bestimme diese Stelle.
Holger Engels 15.1 42 {{/aufgabe}}
akukin 11.1 43
Holger Engels 15.1 44 {{aufgabe id="Fichtenwachstum" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K1" quelle="Holger Engels" zeit="12" cc="by-sa" tags=""}}
Holger Engels 16.1 45 Das Wachstum einer Fichte soll mit einer Exponentialfunktion der Form {{formula}}f(t)=a\cdot e^{kt}{{/formula}} mit //t// in Jahren und //f(t)// in Metern modelliert werden. Zum Pflanzzeitpunkt hat die Fichten eine Größe von //60 cm//. Nach 2 Jahren ist sie bereits um //52 cm// gewachsen.
Holger Engels 15.1 46 (%class=abc%)
47 1. Bestimme die Größe der Fichte nach 5 Jahren.
Holger Engels 16.1 48 1. Berechne den jährlichen Zuwachs in Prozent.
Holger Engels 15.1 49 1. Erläutere die Grenzen des Modells.
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51 Ein besseres Modell für das Wachstum ist die Funktion //h// mit {{formula}}h(t)=\frac{30}{29\cdot e^{-0,1758t} + 1}{{/formula}}.
52 (%class=abc%)
53 1. Berechne, wie groß die Fichte im ausgewachsenen Zustand sein wird.
54 1. Bestimme den mittleren Zuwachs in den Jahren 5 bis 10.
Holger Engels 16.1 55 1. Berechne den Zeitpunkt, wann die Fichte am schnellsten wächst.
akukin 11.1 56 {{/aufgabe}}
57
Holger Engels 1.1 58 {{seitenreflexion/}}