Wiki-Quellcode von BPE 12 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/12 18:45

version	line-number	content
1.1	1	{{seiteninhalt/}}
	2
3.1	3	{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5, K6" niveau="p" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
1.1	4	Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
	5	Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
	6
	7	Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
	8
	9	[[image:LhospitalPlot.PNG\|\|width="600"]]
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	11	Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
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	13	Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
	14
	15	{{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
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	17	(Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
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	19	//Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
	20	{{/aufgabe}}
	21
10.1	22	{{aufgabe id="Grad, Skizze" afb="" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_8.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
4.1	23	Eine in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit erster Ableitungsfunktion {{formula}}f'{{/formula}} und zweiter Ableitungsfunktion {{formula}}f''{{/formula}} hat folgende Eigenschaften:
	24	* {{formula}}f{{/formula}} hat bei {{formula}}x_1{{/formula}} eine Nullstelle.
	25	* Es gilt {{formula}}f'(x_2)=0{{/formula}} und {{formula}}f''(x_2)\neq 0{{/formula}}.
	26	* {{formula}}f'{{/formula}} hat ein Minimum an der Stelle {{formula}}x_3{{/formula}}.
8.1	27
6.1	28	Die Abbildung zeigt die Positionen von {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} und {{formula}}x_3{{/formula}}:
	29	[[image:Koordinatensystem.PNG\|\|width="270" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
4.1	30	1. Begründe, dass der Grad von {{formula}}f{{/formula}} mindestens 3 ist.
	31	1. Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
	32	{{/aufgabe}}
	33
10.1	34	{{aufgabe id="Kosinusfunktion, Periode, Steigung" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_12.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
9.1	35	Eine in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Kosinusfunktion {{formula}}f{{/formula}} hat die Periode {{formula}}p{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}\left(\frac{p}{2}\middle\| p\right){{/formula}} ist ein Hochpunkt des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}, der Punkt {{formula}}\left(\frac{p}{4}\middle\|\frac{p}{2}\right){{/formula}} ein Wendepunkt. Bestimme die Steigung des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}\frac{p}{4}{{/formula}}.
	36	{{/aufgabe}}
	37
11.1	38	{{aufgabe id="Lokale und mittlere Änderungsrate" afb="" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_4.pdf ]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
	39	Gegeben sind die Funktion {{formula}}f:\ x\mapsto\sqrt{x}{{/formula}} mit Definitionsmenge {{formula}}\mathbb{R}_0^+{{/formula}} und die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit der Gleichung {{formula}}y=\frac{1}{4}x{{/formula}}. Betrachtet wird das Intervall, das von den x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} und der Gerade {{formula}}g{{/formula}} begrenzt wird.
	40
	41	In diesem Intervall gibt es eine Stelle, an der die lokale Änderungsrate von {{formula}}f{{/formula}} mit der mittleren Änderungsrate von {{formula}}f{{/formula}} in diesem Intervall übereinstimmt. Bestimme diese Stelle.
	42
	43	{{/aufgabe}}
	44
12.1	45
1.1	46	{{seitenreflexion/}}

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