Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von akukin am 2025/10/23 09:40
Von Version 6.1
bearbeitet von akukin
am 2025/08/14 16:50
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 5.2
bearbeitet von akukin
am 2025/08/04 13:39
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -4,12 +4,12 @@
4 4  1. (((Produktfunktion
5 5  
6 6  {{formula}}
7 -\begin{align*}
7 +\begin{align}
8 8  f(x)&=f_1(x)\cdot f_2(x) \\
9 9   &=(m_1x+b_1)\cdot(m_2x+b_2)\\
10 10   &=m_1m_2x^2+m_1b_2x+m_2b_1x+b_1b_2\\
11 11   &=m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2
12 -\end{align*}
12 +\end{align}
13 13  {{/formula}}
14 14  
15 15  )))
... ... @@ -16,11 +16,11 @@
16 16  1. (((Verkettung
17 17  
18 18  {{formula}}
19 -\begin{align*}
19 +\begin{align}
20 20  f(x)&=f_2(x)\circ f_1(x)=f_2(f_1(x))=f_2(m_1x+b_1) \\
21 21  &=m_2(m_1x+b_1)+b_2 \\
22 22  &=(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)
23 -\end{align*}
23 +\end{align}
24 24  {{/formula}}
25 25  
26 26  )))
... ... @@ -31,7 +31,7 @@
31 31  1. (((Summenfunktion:
32 32  
33 33  {{formula}}
34 -\begin{align*}
34 +\begin{align}
35 35  f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-((m_1+m_2)x_0+(b_1+b_2))}{x-x_0}\\
36 36  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-(m_1+m_2)x_0-(b_1+b_2)}{x-x_0} \\
37 37  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x-(m_1+m_2)x_0}{x-x_0} \\
... ... @@ -38,7 +38,7 @@
38 38  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)(m_1+m_2)}{x-x_0} \\
39 39  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \left((m_1+m_2)\frac{x-x_0}{x-x_0}\right) \\
40 40  &=m_1+m_2
41 -\end{align*}
41 +\end{align}
42 42  {{/formula}}
43 43  
44 44  Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1+m_2{{/formula}}.
... ... @@ -46,13 +46,13 @@
46 46  1. (((Vielfachenfunktion:
47 47  
48 48  {{formula}}
49 -\begin{align*}
49 +\begin{align}
50 50  f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-((am_1)x_0+ab_1)}{x-x_0}\\
51 51  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-(am_1)x_0-ab_1}{x-x_0}\\
52 52  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x)-(am_1)x_0}{x-x_0}\\
53 53  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{am_1(x-x_0)}{x-x_0}\\
54 54  &=am_1
55 -\end{align*}
55 +\end{align}
56 56  {{/formula}}
57 57  
58 58  Somit ist {{formula}}f'(x)=am_1{{/formula}}.
... ... @@ -60,7 +60,7 @@
60 60  1. (((Produktfunktion:
61 61  
62 62  {{formula}}
63 -\begin{align*}
63 +\begin{align}
64 64  f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-(m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x_0+b_1b_2)}{x-x_0}\\
65 65  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-m_1m_2x_0^2-(m_1b_2+m_2b_1)x_0-b_1b_2}{x-x_0}\\
66 66  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2-m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x-(m_1b_2+m_2b_1)x_0}{x-x_0}\\
... ... @@ -68,7 +68,7 @@
68 68  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x-x_0)(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\
69 69  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (m_1m_2(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)) \\
70 70  &=m_1m_2 2x_0+(m_1b_2+m_2b_1)\\
71 -\end{align*}
71 +\end{align}
72 72  {{/formula}}
73 73  
74 74  Somit ist {{formula}}f'(x)=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1){{/formula}}.
... ... @@ -76,13 +76,13 @@
76 76  1. (((Verkettung:
77 77  
78 78  {{formula}}
79 -\begin{align*}
79 +\begin{align}
80 80  f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)-((m_1m_2)x_0+(m_2b_1+b_2))}{x-x_0}\\
81 81  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+m_2b_1+b_2-(m_1m_2)x_0-m_2b_1-b_2}{x-x_0}\\
82 82  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x-(m_1m_2)x_0}{x-x_0}\\
83 83  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)(x-x_0)}{x-x_0}\\
84 84  &=m_1m_2
85 -\end{align*}
85 +\end{align}
86 86  {{/formula}}
87 87  
88 88  Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1m_2{{/formula}}.
... ... @@ -91,13 +91,13 @@
91 91  1. (((Wir berechnen die Ableitung der Funktion {{formula}}f_i(x){{/formula}} mit dem Differenzialquotienen:
92 92  
93 93  {{formula}}
94 -\begin{align*}
94 +\begin{align}
95 95  f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-(m_ix_0+b_i)}{x-x_0}\\
96 96  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-m_ix_0-b_i}{x-x_0}\\
97 97  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix-m_ix_0}{x-x_0}\\
98 98  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_i(x-x_0)}{x-x_0}\\
99 99  &=m_i
100 -\end{align*}
100 +\end{align}
101 101  {{/formula}}
102 102  
103 103  Also ist {{formula}}f_1^\prime(x)=m_1{{/formula}} und {{formula}}f_1^\prime(x)=m_2{{/formula}}.
... ... @@ -108,12 +108,12 @@
108 108  1. (((Produktfunktion:
109 109  
110 110  {{formula}}
111 -\begin{align*}
111 +\begin{align}
112 112  &f_1'(x)\cdot f_2(x)+f_1(x)\cdot f_2'(x)=m_1\cdot (m_2x+b_2)+(m_1x+b_1)\cdot m_2 \\
113 113  &=m_1m_2x+m_1b_2+m_1m_2x+b_1m_2 \\
114 114  &=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1) \\
115 115  &\underset{b)}{=}f'(x)
116 -\end{align*}
116 +\end{align}
117 117  {{/formula}}
118 118  
119 119  )))