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Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/05 13:43
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1 Wenn Punkt {{formula}}\left(\frac{p}{2}\middle| p\right){{/formula}} ein Hochpunkt des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} ist und der Punkt {{formula}}\left(\frac{p}{4}\middle|\frac{p}{2}\right){{/formula}} ein Wendepunkt, dann ist der Punkt {{formula}}\left(0\middle|0\right){{/formula}} ein Tiefpunkt. Folglich kann die Funktionsgleichung geschrieben werden als:
2 {{formula}}f\left(x\right)=-a\cdot\cos{\left(\frac{2\pi}{p}x\right)}+d{{/formula}}
3 wobei die Amplitude {{formula}}a=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{2}+0\right)=\frac{1}{4}p{{/formula}}
4 und die Verschiebung in y-Richtung {{formula}}d=\frac{p}{2}{{/formula}}:
5 {{formula}}f\left(x\right)=-\frac{p}{2}\cdot\cos{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot x\right)}+\frac{p}{2}{{/formula}}
6 Die Ableitung lautet:
7 {{formula}}f^\prime\left(x\right)=\frac{p}{2}\cdot\frac{2\pi}{p}\cdot\sin{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot x\right)}=\pi \cdot\sin{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot x\right)}{{/formula}}
8 An der Stelle {{formula}}x=\frac{p}{4}{{/formula}}:
9 {{formula}}f^\prime\left(\frac{p}{4}\right)=\pi\cdot\sin{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot\frac{p}{4}\right)}=\pi\cdot\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=\pi{{/formula}}
10 Also ist die Steigung des Graphen an der angegebenen Stelle: {{formula}}\pi{{/formula}}