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Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 16:57
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1 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2 Die betrachtete mittlere Änderungsrate ist gleich der Steigung von {{formula}}g{{/formula}}.
3 <br>
4 Damit gilt für {{formula}}x\in\mathbb{R}^+:\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{4}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{4}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \sqrt x=2\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=4{{/formula}}
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6 {{/detail}}
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9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 [[image:WurzelxÄnderungsrate.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
11 Der rote Graph gehört zur Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\sqrt x{{/formula}}; die blaue Gerade hat die Gleichung {{formula}}y=\frac{1}{4}x{{/formula}}.
12 <br>
13 Die beiden Graphen schneiden sich bei {{formula}}x=0{{/formula}} und {{formula}}x=16{{/formula}}, also geht es um das Intervall {{formula}}\left[0;16\right]{{/formula}}.
14 <br>
15 Die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion {{formula}}f{{/formula}} in diesem Intervall ist die Steigung der Sekante, die den Graphen an den Intervallgrenzen schneidet. Man kann erkennen, dass diese Sekante die eingezeichnete Gerade ist. Also ist die durchschnittliche Änderungsrate {{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}.
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17 Als Nächstes suchen wir eine Stelle im Intervall, an der die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} dieselbe Steigung {{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}} hat, denn die Steigung der Tangente ist ja die lokale Änderungsrate.
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19 Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\sqrt x=x^\frac{1}{2}{{/formula}} leiten wir ab mit der Regel: {{formula}}f\left(x\right)=x^n\ \ \Rightarrow\ \ f^\prime\left(x\right)=nx^{n-1}{{/formula}}
20 </p><p>
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22 {{formula}}f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}{{/formula}}
23 </p>
24 Jetzt müssen wir nur noch dasjenige {{formula}}x\in\left[0;16\right]{{/formula}} finden, für das {{formula}}f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{4}{{/formula}} tatsächlich gilt.
25 <p>
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27 {{formula}}
28 \begin{align*}
29 \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} &=\frac{1}{4} \quad \mid \cdot2 \\
30 x^{-\frac{1}{2}} &=\frac{1}{2} \quad \mid ()^2 \\
31 x^{-1} &=\frac{1}{4} \quad \mid\cdot 4x \quad \text{(oder Kehrwert)} \\
32 4&=x
33 \end{align*}
34 {{/formula}}
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36 </p>
37 Das heißt an der Stelle {{formula}}x=4{{/formula}} ist die lokale Änderungsrate von {{formula}}f{{/formula}} gleich der durchschnittlichen Änderungsrate im Intervall {{formula}}\left[0;16\right]{{/formula}}.
38 [[image:WurzelxÄnderungsrateLösung.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
39 {{/detail}}