Lösung Potenzregel und Produktregel
\(\underline{k=0}\):
\(f(x)=x^0=1\)
Nach der Potenzregel gilt:\(f'(x)=0\cdot x^{0-1}=0\)Mit dem Differenzialquotienten erhalten wir ebenfalls:
\[\begin{align*} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{1-1}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}0 \\ &=0 \end{align*}\]\(\underline{k=1}\):
\(f(x)=x\)
Mit Potenzregel: \(f'(x)=1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^0=1\cdot1=1\)
Mit Differenzialquotient:\[\begin{align*} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{x-x_0} \\ &=1 \end{align*}\]\(\underline{k=2}\):
\(f(x)=x^2\)
Mit Potenzregel: \(f'(x)=2\cdot x^{2-1}=2\cdot x^1=2x\)
Mit Differenzialquotient:\[\begin{align*} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} x+x_0 \\ &=2x \end{align*}\]\(\underline{k=3}\):
\(f(x)=x^3=x^2\cdot x\)
Mit \(u(x)=x^2\) und \(v(x)=x\) folgt mit der Produktregel:
\(f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)=2x\cdot x+x^2\cdot 1=2x^2+x^2=3x^2\)\(\underline{k=4}\):
\(f(x)=x^4=x^3\cdot x\)
Mit \(u(x)=x^3\) und \(v(x)=x\) folgt mit der Produktregel:
\(f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)=3x^2\cdot x+x^3\cdot 1=3x^3+x^3=4x^3\)Wählen wir, wie vorgeschlagen, \(f(x)=x^5=x^4\cdot x\), so erhalten wir mit der Produktregel
\(f'(x)=4x^3\cdot x+x^4\cdot 1=4x^4+x^4=5x^4\).Mit\(f(x)=x^5=x^3\cdot x^2\) erhalten wir
\(f'(x)=3x^2\cdot x^2+x^3\cdot 2x=3x^4+2x^4=5x^4\).Mit\(f(x)=x^5=x^{12}\cdot x^{-7}\) wir
\(f'(x)=12x^{11}\cdot x^{-7}+x^{12}\cdot (-7x^{-8})=12x^4-7x^4=5x^4\).Neben den Vorschlägen sind natürlich auch individuelle Lösungen möglich.
- \[1=2f(x)f'(x) \ \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{2f(x)}=\frac{1}{2x^{0,5}}\]
Vergleich mit der Potenzregel:
\(f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{0,5-1}=\frac{1}{2}\cdot x^{-0,5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{0,5}}\) \(0=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f^\prime(x)\)
\(\Leftrightarrow f'(x)=\frac{-(x^n)'\cdot f(x)}{x^n}=\frac{-nx^{n-1}\cdot x^{-n}}{x^n}=\frac{-nx^{-1}}{x^n}=(-n)\cdot x^{-n-1}\)Vergleich mit der Potenzregel:
\(f'(x)=(-n)\cdot x^{-n-1}\)- \[f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}\]\[f'(x)=e^{k\cdot \ln(x)}\cdot k\cdot \frac{1}{x}=x^k\cdot k\cdot \frac{1}{x}=k\cdot x^{k-1}\]