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Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/20 18:31
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1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}g^\prime(x)=2\cdot e^x;\ \ g^\prime(0)=2{{/formula}}
4 [[image:Steigungsdreieck.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
5 {{/detail}}
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7
8 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
9 <p>
10 Die Ableitung der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=2\cdot e^x-2{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} ist gesucht.
11 </p>
12 Wir bestimmen zuerst {{formula}}g^\prime(x){{/formula}}:
13 <br>
14 {{formula}}g^\prime(x)=2\cdot e^x{{/formula}}
15 <br>
16 <p>
17 Die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung. Der Faktor {{formula}}2{{/formula}} bleibt erhalten (Faktorregel). Der Summand {{formula}}-2{{/formula}} wird beim Ableiten zu {{formula}}0{{/formula}}.
18 </p>
19 Nun können wir {{formula}}g^\prime(0){{/formula}} ermitteln:
20 <br>
21 {{formula}}g^\prime(0)=2\cdot e^0=2{{/formula}}
22 <br>
23 („Hoch null“ ergibt immer 1.)
24 [[image:Steigungsdreieck.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
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26 <p>
27 Die Ableitung an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} ist die Steigung der Tangente, die den Graphen an dieser Stelle berührt. Also zeichnen wir die Tangente ein (gestrichelte Linie).
28 </p>
29 Die gesuchte Steigung dieser Tangente wird mit einem passenden Steigungsdreieck veranschaulicht. An diesem ist zu erkennen, dass man tatsächlich 2 Schritte nach oben geht, wenn man 1 Schritt nach rechts gegangen ist. Also ist die Steigung {{formula}}g^\prime(0)=2{{/formula}}.
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31 {{/detail}}
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33 === Teilaufgabe 2 ===
34 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
35 Die Aussage ist falsch, da die Steigungen der Graphen von {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} an der Stelle {{formula}}0{{/formula}} nicht übereinstimmen.
36 {{/detail}}
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39 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
40 Würde man den Graphen von {{formula}}g{{/formula}} um zwei Längeneinheiten nach oben verschieben, so hätte er tatsächlich denselben y-Achsenabschnitt wie der Graph von {{formula}}h{{/formula}}. Jedoch ist die Steigung von {{formula}}g{{/formula}} am y-Achsenabschnitt wesentlich größer als die Steigung von {{formula}}h{{/formula}}. Also können die beiden Graphen nur durch vertikales Verschieben nicht zur Deckung gebracht werden. (Man müsste den Graphen von {{formula}}g{{/formula}} noch zusätzlich in y-Richtung stauchen, das heißt den Funktionsterm mit einem Faktor zwischen 0 und 1 multiplizieren.)
41 {{/detail}}