Lösung Verschiebung durch Ableiten
Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 16:48
Erwartungshorizont
\(f(x)=e^{2x}; \ f^{(100)}(x)=2^{100}\cdot e^{2x}\)Erzeugung des Graphen von \(f^{(100)}\) durch Verschiebung des Graphen von \(f\):
\(f(x-c)=f^{(100)}(x) \ \ \Leftrightarrow \ \ e^{2x}\cdot e^{-2c}=2^{100}\cdot e^{2x} \ \ \Leftrightarrow \ \ e^{-2c}=2^{100} \ \ \Leftrightarrow \ \ c=-\frac{1}{2}\cdot\ln{(2^{100})}\)
Erläuterung der Lösung
Lies am besten zuerst Hinweis 3.Bekannt ist zuerst nur: \(f^\prime(x)=2\cdot e^{2x}\) und \(f(0)=1\)
Die Stammfunktion von \(f^\prime\) ist die Originalfunktion \(f\):
\(f(x)=e^{2x}+C;\ \ C\in\mathbb{R}\)
Da der Graph von \(f\) den y-Achsenabschnitt 1 haben soll:
\(f(0)=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^0+C=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ C=0\)
\(f(x)=e^{2x}\)
Ein n-maliges Ableiten führt zu einer Multiplikation mit \(2^n\) (wovon man sich durch Ausprobieren leicht überzeugen kann):
\(f^{(n)}(x)=2^n\cdot e^{2x}\)
Wie in Hinweis 3 beschrieben, bringen wir beide Faktoren auf dieselbe Basis und formen den Term algebraisch um, so dass eine Verschiebung in x-Richtung ersichtlich wird, das heißt zum \(x\) in der Originalfunktion nur noch ein Summand addiert wird:
\(f^{(n)}(x)=e^{\ln{(2^n)}}\cdot e^{2x}=e^{\ln{(2^n)}+2x}=e^{2\big(\frac{1}{2}\ln{(2^n)}+x\big)}\)
Also ist der Graph der n-ten Ableitung gegenüber dem der Originalfunktion um \(\frac{1}{2}\ln{(2^n)}\) nach links verschoben.
Für \(n=100\) bedeutet das, dass die Verschiebung um \(c\in\mathbb{R}\) nach rechts beschrieben werden kann mittels:
\(c=-\frac{1}{2}\ln{(2^{100})}\)
Dann gilt:
\(f^{(100)}(x)=f(x-c)\)