Tipp Verschiebung durch Ableiten

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/13 20:36
Hinweis 1 Leite f^\prime ein paar mal ab, um zu sehen, was passiert.Bilde die Stammfunktion von f^\prime mit einer Integrationskonstanten, das heißt mit einem konstanten, jedoch noch unbekannten Summanden C\in\mathbb{R}, nach dem Beispiel:
g^\prime\left(x\right)=3x^2 \ \Rightarrow \ g\left(x\right)=x^3+C
Hinweis 2 Durch mehrmaliges Ableiten von f entsteht jedes Mal ein weiterer Vorfaktor 2.
Überlege dir, welcher grafischen Transformation eine Multiplikation des Funktionsterms mit der Zahl 2 entspricht.
Hinweis 3 Zwar ist die mehrmalige Multiplikation mit 2 eine Streckung in y-Richtung, jedoch kann man die Funktionsterme von f sowie deren Ableitungsfunktionen auch derart umformen, dass eine Verschiebung in x-Richtung ersichtlich wird.

Beispiel für die natürliche Exponentialfunktion:
f\left(x\right)=e^x
Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a:
g\left(x\right)=a\cdot e^x
Jetzt kommt die algebraische Umformung (Formeln siehe Merkhilfe):
Zuerst bringen wir beide Faktoren auf dieselbe Basis:
g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}}\cdot e^x
„Zwei Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden und die Basis beibehalten wird.“ (erstes Potenzgesetz)
g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}+x}
Das heißt die Transformation kann ebenso als Verschiebung um \ln{\left(a\right)} nach links verstanden werden:
g\left(x\right)=f\left(x+\ln{\left(a\right)}\right)