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Version 1.1 von akukin am 2024/10/13 20:35
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1 {{detail summary="Hinweis 1"}}
2 Leite {{formula}}f^\prime{{/formula}} ein paar mal ab, um zu sehen, was passiert.
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4 Bilde die Stammfunktion von {{formula}}f^\prime{{/formula}} mit einer Integrationskonstanten, das heißt mit einem konstanten, jedoch noch unbekannten Summanden {{formula}}C\in\mathbb{R}{{/formula}}, nach dem Beispiel:
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6 {{formula}}g^\prime\left(x\right)=3x^2 \ \Rightarrow \ g\left(x\right)=x^3+C{{/formula}}
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8 {{/detail}}
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11 {{detail summary="Hinweis 2"}}
12 Durch mehrmaliges Ableiten von {{formula}}f{{/formula}} entsteht jedes Mal ein weiterer Vorfaktor 2.
13 <br>
14 Überlege dir, welcher grafischen Transformation eine Multiplikation des Funktionsterms mit der Zahl 2 entspricht.
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16 {{/detail}}
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19 {{detail summary="Hinweis 3"}}
20 Zwar ist die mehrmalige Multiplikation mit 2 eine Streckung in y-Richtung, jedoch kann man die Funktionsterme von {{formula}}f{{/formula}} sowie deren Ableitungsfunktionen auch derart umformen, dass eine Verschiebung in x-Richtung ersichtlich wird.
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22 Beispiel für die natürliche Exponentialfunktion:
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24 {{formula}}f\left(x\right)=e^x{{/formula}}
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26 Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a:
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28 {{formula}}g\left(x\right)=a\cdot e^x{{/formula}}
29 <br>
30 Jetzt kommt die algebraische Umformung (Formeln siehe Merkhilfe):
31 <br>
32 Zuerst bringen wir beide Faktoren auf dieselbe Basis:
33 <br>
34 {{formula}}g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}}\cdot e^x{{/formula}}
35 <br>
36 „Zwei Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden und die Basis beibehalten wird.“ (erstes Potenzgesetz)
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38 {{formula}}g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}+x}{{/formula}}
39 <br>
40 Das heißt die Transformation kann ebenso als Verschiebung um {{formula}}\ln{\left(a\right)}{{/formula}} nach links verstanden werden:
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42 {{formula}}g\left(x\right)=f\left(x+\ln{\left(a\right)}\right){{/formula}}
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44 {{/detail}}