Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -6,9 +6,9 @@
6	6
7	7	a) {{formula}}f(x)= e^{x}+2x +9 {{/formula}}.
8	8	b) {{formula}}f(x)=x \cdot sin(x) {{/formula}}.
9		-c) {{formula}}f(x)= \frac{1}{x} -3x {{/formula}}.
	9	+c) {{formula}}f(x)= \frac{2x^{3} + 4x}{x} {{/formula}}.
	10	+d) {{formula}}f(x)= 5x^{4}- \sqrt{x}{{/formula}}.
10	10
11		-
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14	14	{{aufgabe id="Verkettung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
...	...	@@ -16,7 +16,8 @@
16	16
17	17	a) {{formula}}f(x)=(3x+4)^5{{/formula}}.
18	18	b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x+3} {{/formula}}.
19		-c) {{formula}}f(x)=-0,5cos(2x-6) {{/formula}}.
	19	+c) {{formula}}f(x)=-cos(2x-6) {{/formula}}.
	20	+d) {{formula}}f(x)=\frac{1}{(2x-7)^4} {{/formula}}.
20	20
21	21	{{/aufgabe}}
22	22
...	...	@@ -37,30 +37,17 @@
37	37
38	38	{{/aufgabe}}
39	39
40		-{{aufgabe id="Korrekturen" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	41	+{{aufgabe id="Funktion und Ableitung eAN" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" niveau= "e" cc="BY-SA" zeit="8"}}
41	41
42		-Tim hat zu einem gegebenen Funktionstermen eine Ableitung erstellt.
43		-Begründe, warum die Ableitung nicht korrekt ist.
	43	+Ein Funktionsterm und deren Ableitung wurde nur unvollständig gegeben. Ermittle die fehlenden Eintragungen für die Platzhalter.
44	44
45		-{{formula}}f(x)=\frac{1}{(6x+9)^{4}} {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=\frac{1}{4(6x+9)^{3}} {{/formula}}
	45	+a) {{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot(2x+7) {{/formula}} und {{formula}}f´(x)=2e^{2x}\cdot(2x+7) + 4e^{2x} {{/formula}}
	46	+b) {{formula}}f(x)=(3x+1)\cdot e^{-x^4} {{/formula}}.
46	46
47		-
48	48	{{/aufgabe}}
49	49
50	50
51	51
52		-{{aufgabe id="Funktion und Ableitung" afb="III" kompetenzen="K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
53		-
54		-Ein Funktionsterm und deren Ableitung wurde nur unvollständig gegeben. Ermittle mögliche Eintragungen für die Kästchen.
55		-Begründe, warum es mehrere Lösungen gibt.
56		-
57		-a) {{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot\square {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=2e^{2x}\cdot\square + 4e^{2x} {{/formula}}
58		-b) {{formula}}f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} {{/formula}}~ und {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square {{/formula}}
59		-
60		-{{/aufgabe}}
61		-
62		-
63		-
64	64	{{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
65	65	Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
66	66	(% class="abc" %)
...	...	@@ -85,7 +85,7 @@
85	85	//Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.
86	86	{{/aufgabe}}
87	87
88		-{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
	76	+{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
89	89	Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
90	90	(% class="abc" %)
91	91	1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
...	...	@@ -101,12 +101,12 @@
101	101	1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.
102	102	{{/aufgabe}}
103	103
104		-{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
	92	+{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
105	105	Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
106	106	//Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
107	107	{{/aufgabe}}
108	108
109		-{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	97	+{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
110	110	Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
111	111	(% class="abc" %)
112	112	1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.