Änderungen von Dokument Lösung Funktion und Ableitung

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1	1	(%class=abc%)
2		-1. (((Wir erhalten die Ableitung der Funktion mit Hilfe der Kettenregel {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x) \ \implies \ f^\prime(x)=u^\prime(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^\prime(x){{/formula}}.
3		-
	2	+1. Wir erhalten die Ableitung der Funktion mit Hilfe der Kettenregel {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x) \ \implies \ f^\prime(x)=u^\prime(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^\prime(x){{/formula}}.
4	4	Die Ableitung von {{formula}}u(x)=e^{2x}{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}}u^\prime(x)=2e^{2x}{{/formula}}.
5	5	Somit ist {{formula}}f^\prime(x)=2e^{2x}\cdot v(x)+e^{2x}\cdot v^\prime(x){{/formula}}.
6	6	Also ist {{formula}}v^\prime(x)=4{{/formula}}.
7		-
8		-Damit ist {{formula}}v(x)=4x+c{{/formula}}, wobei {{formula}}c{{/formula}} eine beliebige Konstante ist. Wir erhalten dadurch
9		-{{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot (4x+c) ~ \text{und} ~ f´(x)=2e^{2x}\cdot (4x+c) + 4e^{2x}{{/formula}}.
10		-Da man für {{formula}}c{{/formula}} eine beliebige Konstante wählen kann, weil sie beim Ableiten wegfällt, ergeben sich beliebig viele Lösungen.)))
11		-1. (((Wir betrachten erneut die Kettenregel {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x) \ \implies \ f^\prime(x)=u^\prime(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^\prime(x){{/formula}}.
12		-
13		-Die Ableitung von {{formula}}v(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}}v^\prime(x)=(-1)\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}{{/formula}}.
14		-
15		-Wir wissen also schon mal, dass
16		-{{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot \frac{1}{x} + u(x) \cdot -x^{-2}{{/formula}} gilt.
17		-
18		-Die Ableitung von {{formula}}u(x){{/formula}} ist gegeben durch {{formula}}\frac{5}{2\sqrt{\square}}{{/formula}}, was auf die Ableitung einer Wurzelfunktion hindeutet.
19		-Wir wählen also {{formula}}u(x)=\frac{5}{2}\sqrt{x}+c{{/formula}}, wobei {{formula}}c{{/formula}} wieder eine beliebige Konstante ist. Es ergibt sich somit
20		-
21		-{{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{x} + (\frac{5}{2}\sqrt{x}+c)\cdot -x^{-2}{{/formula}}.
22		-
23		-Da man für {{formula}}c{{/formula}} eine beliebige Konstante wählen kann, weil sie beim Ableiten wegfällt, ergeben sich auch hier beliebig viele Lösungen.
24		-)))
25		-
	6	+Der fehlende Eintrag ist somit gegeben durch {{formula}}v(x)=4x+c{{/formula}}, wobei {{formula}}c{{/formula}} eine beliebige Konstante ist:
	7	+{{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot (4x+c) ~ \text{und} ~ f´(x)=2e^{2x}\cdot (4x+c) + 4e^{2x}{{/formula}}
	8	+Da man für {{formula}}c{{/formula}} eine beliebige Konstante wählen kann, weil sie beim Ableiten wegfällt, ergeben sich beliebig viele Lösungen.
	9	+1. {{formula}}f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} ~ \text{und} ~ f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square{{/formula}}