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Zuletzt geändert von akukin am 2025/12/14 19:23
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akukin 1.1 1 (%class=abc%)
akukin 2.1 2 1. (((Wir erhalten die Ableitung der Funktion mit Hilfe der Kettenregel {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x) \ \implies \ f^\prime(x)=u^\prime(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^\prime(x){{/formula}}.
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akukin 1.1 4 Die Ableitung von {{formula}}u(x)=e^{2x}{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}}u^\prime(x)=2e^{2x}{{/formula}}.
5 Somit ist {{formula}}f^\prime(x)=2e^{2x}\cdot v(x)+e^{2x}\cdot v^\prime(x){{/formula}}.
6 Also ist {{formula}}v^\prime(x)=4{{/formula}}.
akukin 3.1 7
8 Damit ist {{formula}}v(x)=4x+c{{/formula}}, wobei {{formula}}c{{/formula}} eine beliebige Konstante ist. Wir erhalten dadurch
9 {{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot (4x+c) ~ \text{und} ~ f´(x)=2e^{2x}\cdot (4x+c) + 4e^{2x}{{/formula}}.
akukin 2.1 10 Da man für {{formula}}c{{/formula}} eine beliebige Konstante wählen kann, weil sie beim Ableiten wegfällt, ergeben sich beliebig viele Lösungen.)))
akukin 3.1 11 1. (((Wir betrachten erneut die Kettenregel {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x) \ \implies \ f^\prime(x)=u^\prime(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^\prime(x){{/formula}}.
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13 Die Ableitung von {{formula}}v(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}}v^\prime(x)=(-1)\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}{{/formula}}.
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15 Wir wissen also schon mal, dass
16 {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot \frac{1}{x} + u(x) \cdot -x^{-2}{{/formula}} gilt.
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18 Die Ableitung von {{formula}}u(x){{/formula}} ist gegeben durch {{formula}}\frac{5}{2\sqrt{\square}}{{/formula}}, was auf die Ableitung einer Wurzelfunktion hindeutet.
19 Wir wählen also {{formula}}u(x)=\frac{5}{2}\sqrt{x}+c{{/formula}}, wobei {{formula}}c{{/formula}} wieder eine beliebige Konstante ist. Es ergibt sich somit
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21 {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{x} + (\frac{5}{2}\sqrt{x}+c)\cdot -x^{-2}{{/formula}}.
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23 Da man für {{formula}}c{{/formula}} eine beliebige Konstante wählen kann, weil sie beim Ableiten wegfällt, ergeben sich auch hier beliebig viele Lösungen.
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