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Lösung Winkelfunktionen

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/31 19:17

  1. Für die Ableitung der Hilfsfunktion h erhalten wir mit Hilfe der Kettenregel:

    \[\begin{align*} h'(x)&=2\sin(x)\cdot \sin^\prime(x)+2\cos(x)\cdot \cos^\prime(x)=0 \quad \mid :2 \\ &\Leftrightarrow \sin(x)\cdot \sin^\prime(x)+\cos(x)\cdot \cos^\prime(x)=0 \\ &\Leftrightarrow \sin(x)\cdot \sin^\prime(x)=-\cos(x)\cdot \cos^\prime(x) \end{align*}\]

  2. Setzen wir \(\sin'(x)=\cos(x)\) und \(\cos'(x)=-\sin(x)\) in die Beziehung aus Teilaufgabe a) ein, so erhalten wir \(\sin(x)\cdot \cos(x)=-\cos(x)\cdot (-\sin(x)) \ \Leftrightarrow \sin(x)\cdot \cos(x)=\sin(x)\cdot \cos(x)\), d.h. wir erhalten eine wahre Aussage.

    Graphisch können wir die beiden Funktionen ableiten, indem wir an verschiedene Stellen am Graphen der Funktion eine Tangente anlegen und jeweils die Steigung der Tangenten bestimmen.
    (siehe zum Beispiel Linktext)

  3. \(\cos^\prime(x)=\sin^\prime\left(x-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)\cdot 1\underset{\sin'=\cos}{=}\cos\left(x-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin(x)\)
  4. Mit der Kettenregel und den vorausgegangenen Teilaufgaben erhalten wir
    \((\sin(bx))^\prime=\sin'(bx)\cdot b=\cos(bx) \cdot b=b\cdot \cos(bx)\)
    und
    \((\cos(bx))^\prime=\cos'(bx)\cdot b=-\sin(bx) \cdot b=-b\cdot \sin(bx)\).