Wiki-Quellcode von Lösung Winkelfunktionen
Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/31 19:17
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | (%class=abc%) | ||
| 2 | 1. (((Für die Ableitung der Hilfsfunktion //h// erhalten wir mit Hilfe der Kettenregel: | ||
| 3 | |||
| 4 | {{formula}} | ||
| 5 | \begin{align*} | ||
| 6 | h'(x)&=2\sin(x)\cdot \sin^\prime(x)+2\cos(x)\cdot \cos^\prime(x)=0 \quad \mid :2 \\ | ||
| 7 | &\Leftrightarrow \sin(x)\cdot \sin^\prime(x)+\cos(x)\cdot \cos^\prime(x)=0 \\ | ||
| 8 | &\Leftrightarrow \sin(x)\cdot \sin^\prime(x)=-\cos(x)\cdot \cos^\prime(x) | ||
| 9 | \end{align*} | ||
| 10 | {{/formula}} | ||
| 11 | ))) | ||
| 12 | 1. (((Setzen wir {{formula}}\sin'(x)=\cos(x){{/formula}} und {{formula}}\cos'(x)=-\sin(x){{/formula}} in die Beziehung aus Teilaufgabe a) ein, so erhalten wir {{formula}}\sin(x)\cdot \cos(x)=-\cos(x)\cdot (-\sin(x)) \ \Leftrightarrow \sin(x)\cdot \cos(x)=\sin(x)\cdot \cos(x){{/formula}}, d.h. wir erhalten eine wahre Aussage. | ||
| 13 | |||
| 14 | Graphisch können wir die beiden Funktionen ableiten, indem wir an verschiedene Stellen am Graphen der Funktion eine Tangente anlegen und jeweils die Steigung der Tangenten bestimmen. | ||
| 15 | (siehe zum Beispiel [[Linktext>>https://www.geogebra.org/m/suMRdSQe]]) | ||
| 16 | ))) | ||
| 17 | 1. {{formula}}\cos^\prime(x)=\sin^\prime\left(x-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)\cdot 1\underset{\sin'=\cos}{=}\cos\left(x-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin(x){{/formula}} | ||
| 18 | 1. Mit der Kettenregel und den vorausgegangenen Teilaufgaben erhalten wir | ||
| 19 | {{formula}}(\sin(bx))^\prime=\sin'(bx)\cdot b=\cos(bx) \cdot b=b\cdot \cos(bx){{/formula}} | ||
| 20 | und | ||
| 21 | {{formula}}(\cos(bx))^\prime=\cos'(bx)\cdot b=-\sin(bx) \cdot b=-b\cdot \sin(bx){{/formula}}. |