Änderungen von Dokument BPE 12.5 Tangente in Kurvenpunkt

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.dirktebbe
	1	+XWiki.martinawagner

Inhalt

...	...	@@ -1,9 +1,45 @@
1	1	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine Gleichung der Tangente in einem gegebenen Punkt eines Funktionsgraphen bestimmen
2	2	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann prüfen, ob eine gegebene Gerade Tangente an einem Funktionsgraphen ist
3	3
4		-{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" zeit="10" cc="by"}}
	4	+{{aufgabe id="Tangente Funktionsschar" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
	5	+
	6	+Gegeben ist für jede positive reelle Zahl {{formula}}a{{/formula}} die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=a\cdot x^2{{/formula}}. Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f_\frac{1}{2}{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f_\frac{1}{2}{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f_\frac{1}{2}\left(4\right)\right){{/formula}}.
	7	+[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="float: right"]]
	8	+1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
	9	+1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f_a{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f_a\left(u\right)\right){{/formula}} die //y//-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f_a\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
	10	+
	11	+
	12	+
	13	+
	14	+
	15	+
	16	+
	17	+
	18	+__Hinweis__:
	19	+Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
	20	+
	21	+**Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel**:
	22	+Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
	23	+Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
	24	+[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	25	+
	26	+1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
	27	+1. Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} wird in //y//-Richtung gestreckt; dabei entsteht der Graph der transformierten Funktion {{formula}}g{{/formula}}.
	28	+Weise nach, dass unabhängig vom Streckungsfaktor für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die an den gestreckten Graphen im Punkt {{formula}}\left(u\middle| g\left(u\right)\right){{/formula}} angelegte Tangente die //y//-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-g\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
	29	+{{/aufgabe}}
	30	+
	31	+{{aufgabe id="Tangente und Berührpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
	32	+Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
	33	+Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
	34	+[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	35	+
	36	+1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
	37	+1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
	38	+{{/aufgabe}}
	39	+
	40	+{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="10" cc="by"}}
5	5	Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
6		-(%class=abc%)
	42	+
7	7	1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=3{{/formula}}.
8	8	1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}{{/formula}} auch Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
9	9	{{/aufgabe}}
...	...	@@ -10,7 +10,7 @@
10	10
11	11	{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt II" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="15" tags="" cc="by"}}
12	12	Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x{{/formula}}.
13		-(%class=abc%)
	49	+
14	14	1. Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}-3\leq x\leq 3{{/formula}} in ein Koordinatensystem ein.
15	15	1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} in der Nullstelle der Funktion.
16	16	1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}y=4{{/formula}} keine Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
...	...	@@ -18,47 +18,9 @@
18	18	{{/aufgabe}}
19	19
20	20	{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt III" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="" cc="by"}}
	57	+Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}h\left(x\right)=cos(\frac{\pi}{4} x)+1{{/formula}}.
21	21
22		-Eine Schülerin findet in ihren Unterlagen den nachfolgend abgebildeten Aufschrieb zu einer gelösten Aufgabe. Leider ist die dazu gehörende Aufgabenstellung verlorengegangen.
23		-Hilf der Schülerin und erstelle eine zur Lösung passende Aufgabenstellung.
24		-(%class=abc%)
25		-1. (((
26		-{{formula}}h(x)=cos(\frac{\pi}{4}x)+1{{/formula}}
27		-{{formula}}h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}}
28		-{{formula}}h'(6)=-\frac{\pi}{4}sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
29		-{{formula}}h(6)=1{{/formula}}
30		-Punkt-Steigungsform der Tangentengleichung:
31		-{{formula}}y=h´(u)(x-u)+h(u){{/formula}}
32		-{{formula}}y=h´(6)(x-6)+h(6){{/formula}}
33		-{{formula}}y=\frac{\pi}{4}(x-6)+1{{/formula}}
34		-)))
35		-1. (((
36		-{{formula}}h'(x)=m{{/formula}}
37		-{{formula}}-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)=2{{/formula}}
38		-{{formula}}sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
39		-Substituiere:{{formula}}\frac{\pi}{4}x=u{{/formula}}
40		-{{formula}}sin(u)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
41		-{{formula}}-\frac{8}{\pi}<-1{{/formula}}
42		-{{formula}}-\frac{8}{\pi}{{/formula}} liegt somit ausserhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion.
43		-Deswegen hat die Gleichung keine Lösung.
44		-)))
	59	+1. Zeichne {{formula}}K_h{{/formula}} für {{formula}}0\leq x\leq 8{{/formula}} in ein Koordinatensystem ein.
	60	+1. Berechne für {{formula}}x=6{{/formula}} die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}}.
	61	+1. Zeige: {{formula}}y=2x+2{{/formula}} ist keine Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}}.
45	45	{{/aufgabe}}
46		-
47		-{{aufgabe id="Polynomfunktionen" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
48		-Zeige, dass für alle Polynomfunktionen //f// der Form {{formula}}f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0{{/formula}} gilt, dass {{formula}}a_1 x + a_0{{/formula}} eine Tangente an den Graphen an der Stelle //x = 0// ist.
49		-{{/aufgabe}}
50		-
51		-{{aufgabe id="Funktion gesucht" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Holger Engels" zeit="11" tags="problemlösen"}}
52		-Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle //x = 2// die Tangente {{formula}}g(x)=\frac12 x+1{{/formula}} hat.
53		-{{/aufgabe}}
54		-
55		-{{aufgabe id="Tangente und Schnittpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
56		-Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
57		-Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
58		-[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
59		-(%class=abc%)
60		-1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangenten {{formula}}t{{/formula}} an.
61		-1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
62		-{{/aufgabe}}
63		-
64		-{{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}