Lösung Polynomfunktionen
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/12/16 20:38
Zeige, dass für alle Polynomfunktionen f der Form \(f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\) gilt, dass \(a_1 x + a_0\) eine Tangente an den Graphen an der Stelle x = 0 ist.
Die Gerade \(a_1 x + a_0\) hat an der Stelle 0 den Funktionswert \(a_0\) und die Steigung \(a_1\)
Die Polynomfunktion hat an der Stelle 0 ebenfalls den Funktionswert \(a_0\). Dass sie dort auch die Steigung \(a_1\) hat, kann man ganz einfach zeigen, indem man \(f'(x)\) bildet und 0 einsetzt:
\[f'(x)=a_n \cdot n \cdot x^{n-1} + a_{n-1} \cdot (n-1) \cdot x^{n-2} + ... + a_1\]
Setzt man hier 0 ein, fallen alle Summanden mit \(x^{\square}\) weg und es bleibt \(a_1\) übrig. Die Steigung ist hier also auch \(a_1\)