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Lösung Innermathematisch A

Zuletzt geändert von akukin am 2024/05/23 17:29

a) Um mögliche Extremstellen zu bestimmen, setzen wir die erste Ableitung gleich 0:

\[\begin{align*} f^\prime(x)=3x^2-12x+9 = 0 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0 \end{align*}\]

Mit der Mitternachtsformel ergibt sich

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 3}}{2} \\ &= \frac{4\pm\sqrt{4}}{2}= \frac{4\pm 2}{2} \\ \implies &x_1=1, x_2=3 \end{align*}\]

Es ist \(f^{\prime\prime}(x)= 6x-12\) und
\(f^{\prime\prime}(3)= 6\cdot 3-12=6 \neq 0\). Somit liegt bei \(x=3\) tatsächlich eine Extremstelle vor. Da \(f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot 3=0\), besitzt der Graph einen Extrempunkt, der auf der x-Achse liegt ((3|0)).

b) Um den Wendepunkt zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich 0:
\(f^{\prime\prime}(x)= 6x-12=0 \Leftrightarrow x=2\).
Da \(f^{\prime\prime\prime}(x)=6 >0\) liegt an der Stelle \(x=2\) tatsächlich eine Wendestelle vor.

Es ist \(f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2=2\). Somit ist der Wendepunkt W(2|2).

Es soll nun ein Punkt ermittelt werden, der auf der Wendetangente \(t_1\) liegt und von beiden Koordinatenachsen gleich weit entfernt ist. Das heißt, der Punkt besitzt die Koordinaten (x|x) (selbe x- und y-Koordinate). Dies ist für den Wendepunkt W(2|2) der Fall.

Alternativ hätte man, wenn man dies nicht sieht, die   Gleichung der Wendetangente bestimmen können und (x|x) in \(t_1\) einsetzen können:

Die Gleichung der Wendetangente erhält man durch den Ansatz 
\(t_1=mx+c\).

\[f^\prime(2) = 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 \implies m-3\]

Einsetzen von (2|2) in \(t_1\):  \(2=(-3)\cdot 2 +c \Leftrightarrow c=8\)

Somit ist die Wendetangente \(t_1=-3x+8\).

Einsetzen von (x|x): \(x = -3x +8 \Leftrightarrow x=2\)

c) Die minimale momentane Änderungsrate (d.h. minimale erste Ableitung) enstpricht der Steigung an der Wendestelle, das heißt: \(f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 \).

(Allgemein liegt an einem Wendepunkt die größte/kleinste momentane Änderungsrate vor, da dort die erste Ableitung ihr Maxmimum/Minimum hat.)