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Wiki-Quellcode von Lösung Innermathematisch A

Zuletzt geändert von akukin am 2024/05/23 19:29
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1 a) Um mögliche Extremstellen zu bestimmen, setzen wir die erste Ableitung gleich 0:
2
3 {{formula}}
4 \begin{align*}
5 f^\prime(x)=3x^2-12x+9 = 0
6 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0
7 \end{align*}
8 {{/formula}}
9
10 Mit der Mitternachtsformel ergibt sich
11
12 {{formula}}
13 \begin{align*}
14 x_{1,2} &= \frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 3}}{2} \\
15 &= \frac{4\pm\sqrt{4}}{2}= \frac{4\pm 2}{2} \\
16 \implies &x_1=1, x_2=3
17 \end{align*}
18 {{/formula}}
19
20 Es ist {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12{{/formula}} und
21 {{formula}}f^{\prime\prime}(3)= 6\cdot 3-12=6 \neq 0{{/formula}}. Somit liegt bei {{formula}}x=3{{/formula}} tatsächlich eine Extremstelle vor. Da {{formula}}f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot 3=0{{/formula}}, besitzt der Graph einen Extrempunkt, der auf der x-Achse liegt ((3|0)).
22
23 b) Um den Wendepunkt zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich 0:
24 {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12=0 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}.
25 Da {{formula}}f^{\prime\prime\prime}(x)=6 >0{{/formula}} liegt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}} tatsächlich eine Wendestelle vor.
26
27 Es ist {{formula}}f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2=2{{/formula}}. Somit ist der Wendepunkt W(2|2).
28
29 Es soll nun ein Punkt ermittelt werden, der auf der Wendetangente {{formula}}t_1{{/formula}} liegt und von beiden Koordinatenachsen gleich weit entfernt ist. Das heißt, der Punkt besitzt die Koordinaten (x|x) (selbe x- und y-Koordinate). Dies ist für den Wendepunkt W(2|2) der Fall.
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32 //Alternativ hätte man, wenn man dies nicht sieht, die Gleichung der Wendetangente bestimmen können und (x|x) in {{formula}}t_1{{/formula}} einsetzen können://
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34 //Die Gleichung der Wendetangente erhält man durch den Ansatz //
35 {{formula}}t_1=mx+c{{/formula}}.
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37 {{formula}}f^\prime(2) = 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 \implies m-3{{/formula}}
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39 //Einsetzen von (2|2) in {{formula}}t_1{{/formula}}: {{formula}}2=(-3)\cdot 2 +c \Leftrightarrow c=8{{/formula}}//
40
41 //Somit ist die Wendetangente {{formula}}t_1=-3x+8{{/formula}}.//
42
43 //Einsetzen von (x|x): {{formula}}x = -3x +8 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}//
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45 c) Die minimale momentane Änderungsrate (d.h. minimale erste Ableitung) enstpricht der Steigung an der Wendestelle, das heißt: {{formula}}f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 {{/formula}}.
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47 (Allgemein liegt an einem Wendepunkt die größte/kleinste momentane Änderungsrate vor, da dort die erste Ableitung ihr Maxmimum/Minimum hat.)