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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.holgerengels

Inhalt

...	...	@@ -1,4 +1,5 @@
1	1	a) Um mögliche Extremstellen zu bestimmen, setzen wir die erste Ableitung gleich 0:
	2	+
2	2	{{formula}}
3	3	\begin{align*}
4	4	f^\prime(x)=3x^2-12x+9 = 0
...	...	@@ -19,29 +19,6 @@
19	19	Es ist {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12{{/formula}} und
20	20	{{formula}}f^{\prime\prime}(3)= 6\cdot 3-12=6 \neq 0{{/formula}}. Somit liegt bei {{formula}}x=3{{/formula}} tatsächlich eine Extremstelle vor. Da {{formula}}f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot 3=0{{/formula}}, besitzt der Graph einen Extrempunkt, der auf der x-Achse liegt ((3|0)).
21	21
22		-b) Um den Wendepunkt zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich 0:
23		-{{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12=0 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}.
24		-Da {{formula}}f^{\prime\prime\prime}(x)=6 >0{{/formula}} liegt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}} tatsächlich eine Wendestelle vor.
	23	+b) Die minimale momentane Änderungsrate (d.h. minimale erste Ableitung) enstpricht der Steigung an der Wendestelle, das heißt: {{formula}}f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 {{/formula}}.
25	25
26		-Es ist {{formula}}f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2=2{{/formula}}. Somit ist der Wendepunkt W(2|2).
27		-
28		-Es soll nun ein Punkt ermittelt werden, der auf der Wendetangente {{formula}}t_1{{/formula}} liegt und von beiden Koordinatenachsen gleich weit entfernt ist. Das heißt, der Punkt besitzt die Koordinaten (x|x) (selbe x- und y-Koordinate). Dies ist für den Wendepunkt W(2|2) der Fall.
29		-
30		-
31		-
32		-
33		-__Alternativ__ hätte man, wenn man dies nicht sieht, die Gleichung der Wendetangente bestimmen können und (x|x) in {{formula}}t_1{{/formula}} einsetzen können:
34		-
35		-Die Gleichung der Wendetangente erhält man durch den Ansatz
36		-{{formula}}t_1=mx+c{{/formula}}.
37		-
38		-{{formula}}f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 \implies m-3{{/formula}}
39		-
40		-Einsetzen von (2|2) in {{formula}}t_1{{/formula}}:{{formula}}2=(-3)\cdot 2 +c \Leftrightarrow c=8{{/formula}}
41		-
42		-Somit ist die Wendetangente {{formula}}t_1=-3x+8{{/formula}}.
43		-
44		-Einsetzen von (x|x):{{formula}}x = -3x +8 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}
45		-
46		-c) Um die minimale momentane Änderungsrate(d.h. Ableitung) zu bestimmen, gilt es, das Minimum von {{formula}}f^\prime{{/formula}} zu bestimmen.
47		-
	25	+(Allgemein liegt an einem Wendepunkt die größte/kleinste momentane Änderungsrate vor, da dort die erste Ableitung ihr Maxmimum/Minimum hat.)