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Wiki-Quellcode von Lösung Innermathematisch A

Version 1.1 von akukin am 2024/05/23 19:14
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1 a) Um mögliche Extremstellen zu bestimmen, setzen wir die erste Ableitung gleich 0:
2 {{formula}}
3 \begin{align*}
4 f^\prime(x)=3x^2-12x+9 = 0
5 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0
6 \end{align*}
7 {{/formula}}
8
9 Mit der Mitternachtsformel ergibt sich
10
11 {{formula}}
12 \begin{align*}
13 x_{1,2} &= \frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 3}}{2} \\
14 &= \frac{4\pm\sqrt{4}}{2}= \frac{4\pm 2}{2} \\
15 \implies &x_1=1, x_2=3
16 \end{align*}
17 {{/formula}}
18
19 Es ist {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12{{/formula}} und
20 {{formula}}f^{\prime\prime}(3)= 6\cdot 3-12=6 \neq 0{{/formula}}. Somit liegt bei {{formula}}x=3{{/formula}} tatsächlich eine Extremstelle vor. Da {{formula}}f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot 3=0{{/formula}}, besitzt der Graph einen Extrempunkt, der auf der x-Achse liegt ((3|0)).
21
22 b) Um den Wendepunkt zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich 0:
23 {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12=0 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}.
24 Da {{formula}}f^{\prime\prime\prime}(x)=6 >0{{/formula}} liegt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}} tatsächlich eine Wendestelle vor.
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26 Es ist {{formula}}f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2=2{{/formula}}. Somit ist der Wendepunkt W(2|2).
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28 Es soll nun ein Punkt ermittelt werden, der auf der Wendetangente {{formula}}t_1{{/formula}} liegt und von beiden Koordinatenachsen gleich weit entfernt ist. Das heißt, der Punkt besitzt die Koordinaten (x|x) (selbe x- und y-Koordinate). Dies ist für den Wendepunkt W(2|2) der Fall.
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33 __Alternativ__ hätte man, wenn man dies nicht sieht, die Gleichung der Wendetangente bestimmen können und (x|x) in {{formula}}t_1{{/formula}} einsetzen können:
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35 Die Gleichung der Wendetangente erhält man durch den Ansatz
36 {{formula}}t_1=mx+c{{/formula}}.
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38 {{formula}}f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 \implies m-3{{/formula}}
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40 Einsetzen von (2|2) in {{formula}}t_1{{/formula}}:{{formula}}2=(-3)\cdot 2 +c \Leftrightarrow c=8{{/formula}}
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42 Somit ist die Wendetangente {{formula}}t_1=-3x+8{{/formula}}.
43
44 Einsetzen von (x|x):{{formula}}x = -3x +8 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}
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46 c) Um die minimale momentane Änderungsrate(d.h. Ableitung) zu bestimmen, gilt es, das Minimum von {{formula}}f^\prime{{/formula}} zu bestimmen.