Wiki-Quellcode von Lösung Innermathematisch A
Zeige letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | a) Um mögliche Extremstellen zu bestimmen, setzen wir die erste Ableitung gleich 0: | ||
| 2 | |||
| 3 | {{formula}} | ||
| 4 | \begin{align*} | ||
| 5 | f^\prime(x)=3x^2-12x+9 = 0 | ||
| 6 | \Leftrightarrow x^2-4x+3=0 | ||
| 7 | \end{align*} | ||
| 8 | {{/formula}} | ||
| 9 | |||
| 10 | Mit der Mitternachtsformel ergibt sich | ||
| 11 | |||
| 12 | {{formula}} | ||
| 13 | \begin{align*} | ||
| 14 | x_{1,2} &= \frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 3}}{2} \\ | ||
| 15 | &= \frac{4\pm\sqrt{4}}{2}= \frac{4\pm 2}{2} \\ | ||
| 16 | \implies &x_1=1, x_2=3 | ||
| 17 | \end{align*} | ||
| 18 | {{/formula}} | ||
| 19 | |||
| 20 | Es ist {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12{{/formula}} und | ||
| 21 | {{formula}}f^{\prime\prime}(3)= 6\cdot 3-12=6 \neq 0{{/formula}}. Somit liegt bei {{formula}}x=3{{/formula}} tatsächlich eine Extremstelle vor. Da {{formula}}f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot 3=0{{/formula}}, besitzt der Graph einen Extrempunkt, der auf der x-Achse liegt ((3|0)). | ||
| 22 | |||
| 23 | b) Um den Wendepunkt zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich 0: | ||
| 24 | {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12=0 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}. | ||
| 25 | Da {{formula}}f^{\prime\prime\prime}(x)=6 >0{{/formula}} liegt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}} tatsächlich eine Wendestelle vor. | ||
| 26 | |||
| 27 | Es ist {{formula}}f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2=2{{/formula}}. Somit ist der Wendepunkt W(2|2). | ||
| 28 | |||
| 29 | Es soll nun ein Punkt ermittelt werden, der auf der Wendetangente {{formula}}t_1{{/formula}} liegt und von beiden Koordinatenachsen gleich weit entfernt ist. Das heißt, der Punkt besitzt die Koordinaten (x|x) (selbe x- und y-Koordinate). Dies ist für den Wendepunkt W(2|2) der Fall. | ||
| 30 | |||
| 31 | |||
| 32 | //Alternativ hätte man, wenn man dies nicht sieht, die Gleichung der Wendetangente bestimmen können und (x|x) in {{formula}}t_1{{/formula}} einsetzen können:// | ||
| 33 | |||
| 34 | //Die Gleichung der Wendetangente erhält man durch den Ansatz // | ||
| 35 | {{formula}}t_1=mx+c{{/formula}}. | ||
| 36 | |||
| 37 | {{formula}}f^\prime(2) = 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 \implies m-3{{/formula}} | ||
| 38 | |||
| 39 | //Einsetzen von (2|2) in {{formula}}t_1{{/formula}}: {{formula}}2=(-3)\cdot 2 +c \Leftrightarrow c=8{{/formula}}// | ||
| 40 | |||
| 41 | //Somit ist die Wendetangente {{formula}}t_1=-3x+8{{/formula}}.// | ||
| 42 | |||
| 43 | //Einsetzen von (x|x): {{formula}}x = -3x +8 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}// | ||
| 44 | |||
| 45 | c) Die minimale momentane Änderungsrate (d.h. minimale Ableitung) enstpricht der Steigung an der Wendestelle, das heißt: {{formula}}f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 {{/formula}}. |