BPE 12.7 Monotonie

1  Monotoniebereiche bestimmen  (10 min)

Gib die Monotoniebereiche der Funktionen \(f(x)\) an: 

1. \(f(x)=\frac{1}{8}(\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-50x+32)\)
2. \(g(x)=e^{(2x+1)}(x-1)\)
3. \(h(x)=ae^{(-x-5)}x^2\)

2  Skizzieren mithilfe der Monotonie  (9 min)

Gegeben sind folgende Aussagen über die Funktion \(f(x)\):

1. Für \(x \in [-\infty;-3]\) gilt: \(f’(x)\)>0
2. Für \(x \in [-3;2]\) gilt: \(f’(x)\)<0
3. Für \( x \to \infty\) gilt:\( f(x) \to 0\).

a) Gib für jede Aussage das entsprechende Monotonieverhalten an.
b) Skizziere mithilfe der Aussagen ein mögliches Schaubild der Funktion \(f(x)\).

3  Aus Schaubild der Ableitung  (10 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph von \(f'(x)\).
 
Beurteile die folgenden Aussagen:

1. Für \(x \in [2;3]\) ist der Graph von f monoton fallend.
2. Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt des Graphen von \(f'(x)\) ist der Graph der Funktion \(f(x)\) monoton fallend.
3. Es gilt: \(f(-2)<f(0)\)
4. Für \(x<-2\) gilt: \(f''(x) > 0\)

4  Monotonie  (25 min) 𝕃

f bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich D knickfreie Funktion.

Streng steigende Monotonie ist für f wie folgt definiert:
Wenn für alle \(a, b \in \textbf{D}\) mit \(a<b\) gilt: \(f(a)<f(b)\), heißt f streng monoton steigend.

Aus dem Unterricht wissen wir, dass wir streng steigende Monotonie auch wie folgt untersuchen können:
Wenn für alle \(x \in \textbf{D}\) gilt: \(f'(x)>0\), dann ist f streng monoton steigend.

Zeige mit Hilfe einer geeigneten Funktion f folgende Aussage:
Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn \(f'(x)>0\) nicht für alle \(x \in \textbf{D}\) gilt.