Wiki-Quellcode von Lösung Freier Fall
Version 1.1 von Anna Kukin am 2026/08/13 13:50
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| author | version | line-number | content |
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1.1 | 1 | Gegeben ist die Funktion {{formula}}v(t)=\frac{m \cdot g}{\beta}\left(1-e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t}\right)=\frac{m \cdot g}{\beta} - \frac{m \cdot g}{\beta}\cdot e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t}{{/formula}} mit {{formula}}t\geq 0{{/formula}}. |
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| 3 | Um zu zeigen, dass die Geschwindigkeit stets zunimmt, müssen wir zeigen, dass die Funktion streng monoton wachsend ist. Das heißt, wir müssen zeigen, dass die Ableitung der Funktion (die Beschleunigung) für alle {{formula}}t \geq 0{{/formula}} stets positiv ist ({{formula}}v^\prime(t)>0{{/formula}} für alle {{formula}}t\geq 0{{/formula}}). | ||
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| 5 | Wir bestimmen die Ableitungsfunktion mit Hilfe der Kettenregel: | ||
| 6 | {{formula}}v'(t) = -\frac{m \cdot g}{\beta} \cdot e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t}\cdot \left(-\frac{\beta}{m}\right) = \frac{m \cdot g}{\beta} \cdot \frac{\beta}{m} \cdot e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t} = g \cdot e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t}{{/formula}}. | ||
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| 8 | Da der Graph der Exponentialfunktion stets oberhalb der x-Achse verläuft (entspricht dem Verlauf der Funktion {{formula}}f(x)=e^{-x}{{/formula}}), gilt {{formula}}e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t} > 0{{/formula}} für alle {{formula}}t \geq 0{{/formula}}. Da zudem der Ortsfaktor {{formula}}g{{/formula}} eine positive Konstante ist, gilt insgesamt {{formula}}v^\prime(t)>0{{/formula}} für alle {{formula}}t\geq 0{{/formula}}. |