BPE 12.8 Anwendung

Aufgabe 1  Ebbe und Flut

Für die Planung eines Gezeitenkraftwerks soll Ebbe und Flut modelliert werden. Dazu wird die Funktion \(f(t) = 3 cos(\frac{\pi}{6} t)\) verwendet. Dabei ist t die Zeit in Stunden und f(t) die Abweichung vom durchschnittlichen Meeresspiegel in Metern.
  

1. Wann tritt täglich die Flut auf? Berechne und begründe. 
2. An welchen Zeitpunkten ist anzunehmen, dass das Wasser am schnellsten durch die Turbinen fließt? Berechne die Zeitpunkte.
3. Gib die Funktion an, die die Änderungsrate der Meereshöhe angibt und begründe anhand dieser, wann das Wasser ansteigt.

Aufgabe 2  Haie vs Fische 𝕃

In einem Gewässer leben Haie und Fische. Die Haie fressen die Fische. Deshalb hängen die Populationszahlen der Haie und der Fische voneinander ab. Sie lassen sich näherungsweise durch folgende Funktionen modellieren:

• Haie:  \(h(x) = 0,054 x^3 - 5,242x^2 + 142,147x -625,509\)
• Fische: \(f(x) = -0,009x^4 + 1,12 x^3 - 42,43 x^2 + 487,05 x + 1867,22\)  

Kim behauptet: Am Zeitpunkt, an dem es am meisten Haie gibt, nimmt die Anzahl der Fische am meisten ab. 

Überprüfe die Behauptung rechnerisch!

Aufgabe 3  Höhenprofil einer Straße 𝕋  𝕃

Du fährst mit einem unmotorisierten Fahrrad eine längere Strecke. Nach der Fahrt hast du von deinem Tacho eine Geschwindigkeitskurve \(v(x)\), die zeigt, wie schnell du an verschiedenen Stellen der Strecke warst. Auf einem bestimmten Abschnitt siehst du: Zuerst wirst du langsamer, dann bleibst du kurz fast gleich schnell, und danach wirst du wieder schneller. Du erinnerst dich aber nicht mehr genau, wie die Strecke dort verlaufen ist, ob sie bergauf, bergab oder eben war.

1. Erkläre, wie deine Geschwindigkeit \(v(x)\) mit der Höhe der Strecke \(h(x)\) zusammenhängt. 
2. Was bedeutet \(v'(x) < 0\) für das Höhenprofil der Straße?
   Was \(v'(x) > 0\)? Was \(v'(x) = 0\)?
3. Bist du an einem Geschwindigkeitsminimum an dem höchsten Punkt der Straße? Begründe deine Antwort.
4. Wie würdest Du bei gegebenem \(v(x)\) die Stelle ermitteln, wann es am steilsten bergab ging?