Änderungen von Dokument BPE 13 Einheitsübergreifend
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... ... @@ -63,73 +63,10 @@ 63 63 1. Ermittle die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. 64 64 1. Die erste Ableitungsfunktion von {{formula}}h_k{{/formula}} wird mit {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} bezeichnet. Beurteile die folgende Aussage: 65 65 //Es gibt genau einen Wert von {{formula}}k{{/formula}}, für den der Graph von {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} Tangente an den Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} ist.// 66 -1. Die Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} und {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} werden in der Abbildung 2 für {{formula}}k=4{{/formula}} beispielhaft für gerade Werte von {{formula}}k{{/formula}} gezeigt, in der Abbildung 3 für {{formula}}k=5{{/formula}} beispielhaft für ungerade Werte von {{formula}}k{{/formula}}. 67 -[[image:Stau2.png||width="320" style="float: left"]] 68 - 69 - 70 - 71 - 72 - 73 - 74 - 75 - 66 +Die Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} und {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} werden in der Abbildung 2 für {{formula}}k=4{{/formula}} beispielhaft für gerade Werte von {{formula}}k{{/formula}} gezeigt, in der Abbildung 3 für {{formula}}k=5{{/formula}} beispielhaft für ungerade Werte von {{formula}}k{{/formula}}. 67 +[[image:Stau2.png||width="220" style="float: left"]] 76 76 Für {{formula}}k\geq4{{/formula}} werden die Punkte {{formula}}P\left(4\middle| h_k\left(4\right)\right),Q\left(4\middle| h_k^\prime\left(4\right)\right),R\left(2\middle| h_k\left(2\right)\right){{/formula}} und {{formula}}S\left(2\middle| h_k^\prime\left(2\right)\right){{/formula}} betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks. Begründe, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeige, dass die folgende Aussage richtig ist: 77 - //Für jeden geraden Wert von von {{formula}}k{{/formula}} mit {{formula}}k\geq4{{/formula}} stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für {{formula}}k{{/formula}} und der Flächeninhalt des Trapezes für {{formula}}k+1{{/formula}} überein.//69 +Für jeden geraden Wert von von {{formula}}k{{/formula}} mit {{formula}}k\geq4{{/formula}} stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für {{formula}}k{{/formula}} und der Flächeninhalt des Trapezes für {{formula}}k+1{{/formula}} überein. 78 78 {{/aufgabe}} 79 79 80 -{{aufgabe id="Schalldruck1" afb="I, II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_7.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}} 81 -[[image:Schalldruckabb1.png||width="230" style="float: right"]] 82 -Gegeben ist die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_a:\ x\mapsto e^x\cdot\left(x-a\right)^2{{/formula}} mit {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}}. Der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} wird mit {{formula}}G_a{{/formula}} bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die //Abbildung 1// zeigt {{formula}}G_\frac{3}{2}{{/formula}}. 83 - 84 -1. {{formula}}G_\frac{3}{2}{{/formula}} nimmt in einem seiner Wendepunkte seine kleinste Steigung an. Bestimme diese Steigung rechnerisch. 85 -1. {{formula}}G_a{{/formula}} hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt. Gib die Koordinaten dieser Punkte an und begründe, dass der gemeinsame Punkt mit der x-Achse der Tiefpunkt von {{formula}}G_a{{/formula}} ist. 86 -1. Es gibt einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}, für den {{formula}}G_a{{/formula}} und die Koordinatenachsen eine Fläche mit dem Inhalt 3 einschließen. Bestimme diesen Wert von {{formula}}a{{/formula}}. 87 -1. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} mit {{formula}}a\neq0{{/formula}} schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte von {{formula}}G_a{{/formula}} mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechne denjenigen Wert von {{formula}}a{{/formula}}, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist. 88 - 89 -Betrachtet werden die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_{a,b}:\ x\mapsto e^x\cdot\left(\left(x-a+b\right)^2-b\right){{/formula}} mit {{formula}}a,b\in\mathbb{R}{{/formula}}. Es gilt {{formula}}f_{a,0}\left(x\right)=f_a\left(x\right){{/formula}}. Der Graph von {{formula}}f_{a,b}{{/formula}}wird mit {{formula}}G_{a,b}{{/formula}} bezeichnet. 90 -(% style="list-style:" start="5" %) 91 -1. Für positive Werte von {{formula}}b{{/formula}} hat {{formula}}G_{a,b}{{/formula}} zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} wird der Abstand dieser beiden Schnittpunkte betrachtet. Zeige rechnerisch, dass dieser Abstand unabhängig von {{formula}}a{{/formula}} ist. 92 - 93 -Erhöht man im Term von {{formula}}f_{a,b}{{/formula}} den Wert von {{formula}}b{{/formula}} um 1, so erhält man einen Term der ersten Ableitungsfunktion von {{formula}}f_{a,b}{{/formula}}. Es gilt also {{formula}}f_{a,b}^\prime\left(x\right)=f_{a,b+1}\left(x\right){{/formula}}. 94 -(% style="list-style:" start="6" %) 95 -1. Die //Abbildung 2// zeigt für einen bestimmten Wert von {{formula}}a{{/formula}} die Graphen zweier Funktionen der Schar, bei denen sich die Werte von {{formula}}b{{/formula}} um 1 unterscheiden. Entscheide, welcher der beiden Graphen I und II zum größeren Wert von {{formula}}b{{/formula}} gehört, und begründe deine Entscheidung. 96 -[[image:Schalldruckabb2.png||width="180" style="float: left"]] 97 - 98 - 99 - 100 - 101 - 102 - 103 - 104 - 105 -(% style="list-style:" start="7" %) 106 -1. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} gilt {{formula}}f_{a,0}\left(a\right)=0\ \land\ f_{a,1}\left(a\right)=0\ \land\ f_{a,2}\left(a\right)\neq0{{/formula}}. Gib die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Funktion {{formula}}f_{a,-1}{{/formula}} an. 107 - 108 -{{/aufgabe}} 109 - 110 -{{aufgabe id="Schalldruck2" afb="II, III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_7.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}} 111 -Der Schalldruckpegel eines bestimmten Wecktons wird durch die in {{formula}}\left[0;4\right]{{/formula}} definierte Funktion 112 - 113 -{{formula}} 114 -h: x\mapsto 115 -\begin{cases} 116 -20 \cdot \sin(x) \ \text{für} \ 0≤x≤2 \\ 117 - 20 \cdot \sin(x-2) +20 \cdot \sin(2) \ \text{für} \ 2<x≤4 118 -\end{cases} 119 -{{/formula}} 120 - 121 -beschrieben. Dabei ist x die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden und {{formula}}h\left(x\right){{/formula}} der Schalldruckpegel in Dezibel (dB). Die //Abbildung 3// zeigt einen Teil des Graphen von {{formula}}h{{/formula}}. 122 -[[image:Schalldruckabb3.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 123 -1. Zeige, dass der Graph von {{formula}}h{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} keinen Sprung aufweist, und vervollständige den Graphen von {{formula}}h{{/formula}} in der //Abbildung 3//. 124 -1. Berechne den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat, und gib diesen Schalldruckpegel an. 125 -1. Berechne unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von {{formula}}h{{/formula}}. 126 - 127 -Der durchschnittliche Funktionswert von {{formula}}h{{/formula}} im Intervall {{formula}}\left[a;b\right]{{/formula}} stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat: 128 -* Das Rechteck hat die Breite {{formula}}b-a{{/formula}}. 129 -* Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für {{formula}}a\le x\le b{{/formula}} zwischen dem Graphen von {{formula}}h{{/formula}} und der x-Achse liegt. 130 -(% style="list-style:" start="4" %) 131 -1. Dem Graphen von {{formula}}h{{/formula}} ist zu entnehmen, dass der Weckton bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand. Bestimme rechnerisch den größten dieser Abstände. 132 - 133 -{{/aufgabe}} 134 - 135 135 {{seitenreflexion/}}
- Schalldruckabb1.png
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