Lösung Annäherung

[[image:cos und pot.png||width="300" style="float: right"]] a) //a// wird in Abhängigkeit von //q// so gewählt, dass {{formula}} \frac{\pi}{2}{{/formula}} eine Nullstelle von //g// ist:

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{{formula}} g\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)=0 \Leftrightarrow 1 - a \bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q=0{{/formula}}.

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Auflösen nach //a// ergibt:

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{{formula}} a \cdot \bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q=1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q}=\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^{-q}=\bigl(\frac{2}{\pi}\bigl)^q{{/formula}}.

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b) Idee: Wenn //f// und //g// wie im Beispiel der Zeichnung keine Schnittpunkte in {{formula}}]0;\frac{\pi}{2}[{{/formula}} haben, dann ist ein kleiner Flächeninhalt zwischen den Graphen ein gutes Maß für eine kleine Abweichung zwischen den Graphen.

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Wenn //f// und //g// hingegen einen oder mehrere Schnittpunkte in {{formula}}]0;\frac{\pi}{2}[{{/formula}} haben, dann müssen aufgrund der Schnittpunkte bei 0 und π/2 und aufgrund der Rechtskrümmung beider Graphen die Teilflächen zwischen den Kurven klein sein und auch dann liegt eine gute Annäherung vor.

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c) Das Integral muss in Abhängigkeit von q ausgerechnet werden und soll dann möglichst klein sein:

\begin{align}

& \int_0^{\pi/2}f(x)-g(x)dx \\

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&= \int_0^{\pi/2}\cos(x)-1+ \Bigl(\frac{2}{\pi}\Bigl)^q x^q dx\\

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&= \int_0^{\pi/2}\cos(x)+ \Bigl(\frac{2}{\pi}\cdot x \Bigl)^q - 1 dx\\

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&= \Bigl[\sin(x) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1}\Bigl(\frac{2}{\pi}x\Bigl)^{q+1}-x\Bigl]_0^{\frac{\pi}{2}} \\

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&= \sin\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigl) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1}\cdot 1^{q+1}- \frac{\pi}{2}-(\sin(0) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1} \cdot 0^{q+1}-0) \\

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&= 1 +\frac{\frac{\pi}{2}}{q+1} - \frac{\pi}{2} \\

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&= 1 + \frac{\pi}{2} \Bigl(\frac{1}{q+1}-1 \Bigl)

\end{align}

Nullsetzen und Auflösen oder Wertetabelle mit WRT führt zu einer Nullstelle bei {{formula}} q= \frac{1}{1-\frac{2}{\pi}} -1 \approx 1,751 {{/formula}}.

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Für dieses //q// ist das Integral also gleich Null.

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Bonus:

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[image:Bonusplot.png||width="300"]]

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Schnittstelle laut Geogebra: {{formula}} x_S \approx 0,87018353{{/formula}}

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