Zum Inhalt springen

Wiki-Quellcode von Lösung Schalldruck2

Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/27 18:58
Zeige letzte Bearbeiter
1 1.
2
3 {{formula}}
4 \begin{align*}
5 \lim_{t\to 0}{h\left(2+t\right)}&=\lim_{t\to 0}{\left(20\cdot\sin{\left(2+t-2\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)}\right)} \\
6 &=\lim_{t\to 0}{\left(20\cdot\sin{\left(t\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)}\right)}=20\cdot\sin{\left(2\right)}
7 \end{align*}
8 {{/formula}}
9
10 Also gilt: {{formula}}h\left(2\right)= \lim \limits_{t\to0} h\left(2+t\right){{/formula}} und damit hat der Graph von h keinen Sprung, d.h. er ist stetig bei {{formula}}x=2{{/formula}}.
11
12 [[image:LösungSchalldruck2.png||width="160" style="float: left"]]
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28 (% style="list-style:" start="2" %)
29 1. Aus dem Graphen aus Teilaufgabe 1. ist ersichtlich, dass die Hochstelle im Intervall {{formula}}\left[3;4\right]{{/formula}} liegt.
30 {{formula}}h\left(x\right)=20\cdot\sin{\left(x-2\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)} \ \text{für} \ 2<x\le4 {{/formula}}
31 {{formula}}h^\prime\left(x\right)=20\cdot\cos{\left(x-2\right)}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\pi}{2}+2\approx3,5708{{/formula}}
32 Nach ca. 3,6 Sekunden ist der Weckton am lautesten.
33
34 (% style="list-style:" start="3" %)
35 1.
36
37 {{formula}}
38 \begin{align*}
39 \bar{m}&=\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}{h\left(x\right)\mathrm{d} x} \\
40 &=\frac{1}{4}\cdot\int_{0}^{4}{h\left(x\right)\mathrm{d} x}=\frac{1}{4}\cdot\int_{0}^{2}{20\cdot\sin{\left(x\right)}\mathrm{d} x}+\frac{1}{4}\cdot\int_{2}^{4}{\left(20\cdot\sin{\left(x-2\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)}\right)\mathrm{d} x} \\
41 &=5\cdot\left[-\cos{\left(x\right)}\right]_0^2+5\cdot\left[-\cos{\left(x-2\right)}+\sin{\left(2\right)}\cdot x\right]_2^4 \\
42 &=-10\cdot\cos{\left(2\right)}+10+10\cdot\sin{\left(2\right)}\approx23,25
43 \end{align*}
44 {{/formula}}
45
46 Der durchschnittliche Funktionswert von {{formula}}h{{/formula}} ist ca. 23.
47 (% style="list-style:" start="4" %)
48 1. Es ist erkennbar, dass der rechte der beiden {{formula}}x{{/formula}}-Werte {{formula}}x=2{{/formula}} sein muss (oder {{formula}}x=4{{/formula}}). Gesucht ist der linke {{formula}}x{{/formula}}-Wert:
49 {{formula}}h\left(x\right)=h\left(2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \ 20\cdot\sin{\left(x\right)}=20\cdot\sin{\left(2\right)}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\pi-2\ \ \vee\ \ x=2{{/formula}}
50 Abstand: {{formula}}d=2-\left(\pi-2\right)=4-\pi\approx0,8584{{/formula}}
51 Der größte Abstand beträgt ca. 0,86 Sekunden.