Lösung Sinusgraph

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/01 17:24

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont Der Graph G_f, die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x=-2 und x=8 schließen eine Fläche ein, deren Teil unterhalb der x-Achse einen kleineren Inhalt besitzt als deren Teil oberhalb. Deshalb ist der Wert des Integrals nicht negativ.
Erläuterung der Lösung Für beide Teilflächen unterhalb der x-Achse gibt es symmetrisch zur jeweiligen Nullstelle eine gleichgroße Teilfläche oberhalb der x-Achse (rot und blau). Die grüne Teilfläche bleibt übrig und zählt positiv zum Integral. Sinusflaecheloesung.png
Die Aufgabe könnte auch rechnerisch gelöst werden:

\begin{align} \int_{-2}^{8}{2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}\mathrm{d} x}&=\left[-4\cdot\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}\right]_{-2}^8 \\ &=-4\cdot\cos{\left(4\right)}-\left(-4\cdot\cos{\left(-1\right)}\right) \\ &=-4\cdot\cos{\left(4\right)}+4\cdot\cos{\left(-1\right)} \end{align}

Jedoch ist das Vorzeichen dieses Rechenergebnisses ohne Taschenrechner nur schwer zu ermitteln.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont Wegen f^\prime\left(x\right)=\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}, f^\prime\left(0\right)=1 und f\left(0\right)=0 besitzt die Tangente an G_f im Koordinatenursprung die Gleichung y=x, die auch die Gerade durch die beiden gegebenen Punkte beschreibt.
Erläuterung der Lösung Die Tangentengleichung kann mit folgender Formel ermittelt werden:
y=f^\prime\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+f\left(u\right)
wobei x=u diejenige Stelle ist, an der die Tangente am Graphen anliegt.
Da in unserem Fall die Tangente durch den Ursprung gehen soll, ist u=0 und f\left(u\right)=0:
y=f^\prime\left(0\right)\cdot x
Wir benötigen also nur noch f^\prime\left(0\right):
f\left(x\right)=2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}\ \ \Rightarrow\ f^\prime\left(x\right)=\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}
f^\prime\left(0\right)=\cos{\left(0\right)}=1
Folglich lautet die Gleichung der Tangente:
y=x
Zwei Punktproben mit den Punkten \left(-1\middle|-1\right) und \left(1\middle|1\right) liefern wahre Aussagen, das heißt die Punkte liegen auf der Tangente.