Änderungen von Dokument Lösung Stau2

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Seiteneigenschaften

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2	2	Für gerade //k// gilt: {{formula}}x\rightarrow\pm\infty \ \Rightarrow \ h_k\left(x\right)\rightarrow+\infty{{/formula}}
3	3	Für ungerade //k// gilt: {{formula}}x\rightarrow\pm\infty\ \Rightarrow\ \ h_k\left(x\right)\rightarrow\pm\infty{{/formula}}
4	4	1. Alle Graphen beinhalten den Punkt {{formula}}S\left(3\middle|1\right){{/formula}} (Tiefpunkt für gerades //k//, Wendepunkt für ungerades //k// (Begründung: siehe Teilaufgabe 1.) und den Punkt {{formula}}P\left(4\middle|2\right){{/formula}}, da alle ungestreckten Parabeln sich vom Tief- bzw. Wendepunkt aus gesehen 1 weiter rechts und 1 weiter oben noch einmal schneiden.
5		-1. Da Tangenten durch lineare Funktionen beschrieben werden, kommt nur {{formula}}k=2{{/formula}} in Frage, denn nur dann ist {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} eine Polynomfunktion 1. Grads.
	5	+1. Da Tangenten durch lineare Funktionen beschrieben werden, kommt nur {{formula}}k=2{{/formula}} in Frage, denn nur dann ist {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} eine Polynomfunktion 1. Grades.
6	6	Zu überprüfen ist noch, ob {{formula}}h_2^\prime{{/formula}} eine Tangente an {{formula}}h_2{{/formula}} beschreibt:
7		-{{formula}}h_2\left(x\right)=\left(x-3\right)^2+1=x^2-6x+10\ \ \ \Rightarrow\ \ \ h_2^\prime\left(x\right)=2x-6
8		-h_2\left(x\right)=h_2^\prime\left(x\right)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-8x+16=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=4{{/formula}}
	7	+{{formula}}h_2\left(x\right)=\left(x-3\right)^2+1=x^2-6x+10\ \ \Rightarrow\ \ h_2^\prime\left(x\right)=2x-6{{/formula}}
	8	+{{formula}}h_2\left(x\right)=h_2^\prime\left(x\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-8x+16=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4{{/formula}}
9	9	Also berühren sich die Graphen von {{formula}}h_2{{/formula}} und {{formula}}h_2^\prime{{/formula}} bei {{formula}}x=4{{/formula}}.
	10	+1. Diese Vierecke sind Trapeze, da {{formula}}Q{{/formula}} und {{formula}}P{{/formula}} bzw. {{formula}}R{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}} gleiche x-Koordinaten besitzen und damit {{formula}}\overline{QP}{{/formula}} und {{formula}}\overline{RS}{{/formula}} senkrecht verlaufen, also parallel zueinander sind.
10	10
	12	+Zur Aussage:
11	11
	14	+Da die x-Koordinaten sowieso gleich sind, haben die besagten Trapeze alle dieselbe Höhe. Es muss folglich nur noch gezeigt werden, dass für die parallelen Seiten gilt:
	15	+
	16	+{{formula}}
	17	+\begin{align*}
	18	+\frac{\overline{R_kS_k}+\overline{Q_kP_k}}{2}&=\frac{\overline{R_{k+1}S_{k+1}}+\overline{Q_{k+1}P_{k+1}}}{2} \\
	19	+\Leftrightarrow \quad \; h_k\left(2\right)-h_k^\prime\left(2\right)+h_k^\prime\left(4\right)-h_k\left(4\right) &=h_{k+1}^\prime\left(2\right)-h_{k+1}\left(2\right)+h_{k+1}^\prime\left(4\right)-h_{k+1}\left(4\right) \\
	20	+\Leftrightarrow \left(-1\right)^k+1-k\left(-1\right)^{k-1}+k-1-1 &=\left(k+1\right)\left(-1\right)^k-\left(-1\right)^{k+1}-1+k+1-1-1
	21	+\end{align*}
	22	+{{/formula}}
	23	+
	24	+Da //k// gerade ist:
	25	+
	26	+{{formula}}
	27	+\begin{align*}
	28	+1+1+k+k-1-1 &=k+1+1-1+k+1-1-1 \\
	29	+\Leftrightarrow \hspace{2.4cm} 2k &=2k
	30	+\end{align*}
	31	+{{/formula}}
	32	+
	33	+Die wahre Aussage bestätigt die Behauptung, dass die Mittelwerte der Längen der parallelen Seiten der Trapeze tatsächlich gleich sind und damit die Flächeninhalte identisch sind.
	34	+
	35	+
	36	+