Wiki-Quellcode von Lösung Stau2
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | 1. Die Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} sind Parabeln //k//-ter Ordnung (im Falle von {{formula}}k=1{{/formula}} eine Gerade), die um 3 nach rechts und um 1 nach oben verschoben wurden. | ||
| 2 | Für gerade //k// gilt: {{formula}}x\rightarrow\pm\infty \ \Rightarrow \ h_k\left(x\right)\rightarrow+\infty{{/formula}} | ||
| 3 | Für ungerade //k// gilt: {{formula}}x\rightarrow\pm\infty\ \Rightarrow\ \ h_k\left(x\right)\rightarrow\pm\infty{{/formula}} | ||
| 4 | 1. Alle Graphen beinhalten den Punkt {{formula}}S\left(3\middle|1\right){{/formula}} (Tiefpunkt für gerades //k//, Wendepunkt für ungerades //k// (Begründung: siehe Teilaufgabe 1.) und den Punkt {{formula}}P\left(4\middle|2\right){{/formula}}, da alle ungestreckten Parabeln sich vom Tief- bzw. Wendepunkt aus gesehen 1 weiter rechts und 1 weiter oben noch einmal schneiden. | ||
| 5 | 1. Da Tangenten durch lineare Funktionen beschrieben werden, kommt nur {{formula}}k=2{{/formula}} in Frage, denn nur dann ist {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} eine Polynomfunktion 1. Grades. | ||
| 6 | Zu überprüfen ist noch, ob {{formula}}h_2^\prime{{/formula}} eine Tangente an {{formula}}h_2{{/formula}} beschreibt: | ||
| 7 | {{formula}}h_2\left(x\right)=\left(x-3\right)^2+1=x^2-6x+10\ \ \Rightarrow\ \ h_2^\prime\left(x\right)=2x-6{{/formula}} | ||
| 8 | {{formula}}h_2\left(x\right)=h_2^\prime\left(x\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-8x+16=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4{{/formula}} | ||
| 9 | Also berühren sich die Graphen von {{formula}}h_2{{/formula}} und {{formula}}h_2^\prime{{/formula}} bei {{formula}}x=4{{/formula}}. | ||
| 10 | 1. Diese Vierecke sind Trapeze, da {{formula}}Q{{/formula}} und {{formula}}P{{/formula}} bzw. {{formula}}R{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}} gleiche x-Koordinaten besitzen und damit {{formula}}QP{{/formula}} und {{formula}}RS{{/formula}} senkrecht verlaufen, also parallel zueinander sind. | ||
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| 12 | Zur Aussage: | ||
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| 14 | Da die x-Koordinaten sowieso gleich sind, haben die besagten Trapeze alle dieselbe Höhe. Es muss folglich nur noch gezeigt werden, dass für die parallelen Seiten gilt: | ||
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| 16 | {{formula}} | ||
| 17 | \begin{align*} | ||
| 18 | \frac{\overline{R_kS_k}+\overline{Q_kP_k}}{2}&=\frac{\overline{R_{k+1}S_{k+1}}+\overline{Q_{k+1}P_{k+1}}}{2} \\ | ||
| 19 | \Leftrightarrow \quad \; h_k\left(2\right)-h_k^\prime\left(2\right)+h_k^\prime\left(4\right)-h_k\left(4\right) &=h_{k+1}^\prime\left(2\right)-h_{k+1}\left(2\right)+h_{k+1}^\prime\left(4\right)-h_{k+1}\left(4\right) \\ | ||
| 20 | \Leftrightarrow \left(-1\right)^k+1-k\left(-1\right)^{k-1}+k-1-1 &=\left(k+1\right)\left(-1\right)^k-\left(-1\right)^{k+1}-1+k+1-1-1 | ||
| 21 | \end{align*} | ||
| 22 | {{/formula}} | ||
| 23 | |||
| 24 | Da k gerade ist: | ||
| 25 | |||
| 26 | {{formula}} | ||
| 27 | \begin{align*} | ||
| 28 | 1+1+k+k-1-1 &=k+1+1-1+k+1-1-1 \\ | ||
| 29 | \Leftrightarrow \hspace{2.4cm} 2k &=2k | ||
| 30 | \end{align*} | ||
| 31 | {{/formula}} | ||
| 32 | |||
| 33 | Die wahre Aussage bestätigt die Behauptung, dass die Mittelwerte der Längen der parallelen Seiten der Trapeze tatsächlich gleich sind und damit die Flächeninhalte identisch sind. | ||
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