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\( f\left(x\right)=-0,5\cdot\sin{\left(\pi x\right)}+1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f^\prime\left(x\right)=-0,5\pi\cdot\cos{\left(\pi x\right)}\) Da der Kosinus einen Wert von mindestens \(-1\) annimmt, kann \(f^\prime\left(x\right)\) maximal einen Wert von \(-0,5\pi\cdot\left(-1\right)=0,5\pi\approx1,57\) haben. Dieser Wert ist kleiner als \(3\). Alternative, grafische Begründung: Der Abbildung kann man entnehmen, dass bei \(x=1\) die größte Steigung ist. Die Steigung der Tangente an dieser Stelle ist jedoch kleiner als \(3\).
Die Stammfunktion von \(\left(f\left(x\right)\right)^2\) ist mit bekannten Verfahren nicht bestimmbar. Der Term stellt das Volumen des Rotationskörpers dar, der entsteht, wenn der Graph von \(f\) zwischen \(x=0\) und \(x=2\) um die x-Achse rotiert. \(\pi\cdot{0,5}^2+\pi\cdot1^2\) hingegen ist das Volumen zweier Zylinder. Beide haben die Höhe \(1\), einer den Radius \(0,5\) und der andere den Radius \(1\). Beide Zylinder passen vollständig in den Rotationskörper, füllen diesen jedoch nicht vollständig aus (siehe Abbildung).
