Lösung Uneigentliches Integral

An der Zeichnung, spätestens mit Blick in die Merkhilfe, kann man erkennen, dass die Fläche U für \(q = –2\) kleiner ist als für \(q = –1\). Man kann sich logisch herleiten, dass die Fläche für \(q = –3, q = –4, …,\) immer kleiner wird. Man startet also bei einem beliebig gewählten q und prüft, ob U existiert.

Beispiel: 
\( q = –2: f(x)=x^{-2} \rightarrow F(x) = -2x^{-1} = -\frac{2}{x} ; F(b)-F(1) = -\frac{2}{b}+2=2-\frac{2}{b}\)

Man sieht durch Probieren mit dem WTR oder logische Überlegung, dass \(U_{-2}=2\) ist.
Gegebenenfalls kann man noch für\(q = -3\) oder \(q = -4\) oder \(q = -10\) die vorherige Vermutung prüfen, dass für kleinere q das uneigentliche Integral kleiner wird, also erst recht existiert.

Beispiel: 
\( q = –10: f(x)=x^{-10} \rightarrow F(x) = -\frac{1}{9}x^{-9} = -\frac{1}{9x^9} ; F(b)-F(1) = \frac{1}{9}-\frac{1}{9b^2} \Rightarrow U_{-10}=\frac{1}{9}\)

Man sieht durch Probieren mit dem WTR oder logische Überlegung, dass \(U_{-2}=2\) ist.

Wir wählen als nächstes also Werte für q, die näher an 0 liegen.

Beispiel: 
\( q = –1: f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \rightarrow F(x) = \ln(x); F(b)-F(1) = \ln(b)-\ln(1)\stackrel{\ln(1)=0}{=}\ln(b) \Rightarrow U_{-1}\notin \mathbb{R}\)

„Die Grenze“ verläuft also zwischen –2 und –1:

Beispiel:  \( q = –1,5: f(x)=x^{-1,5} \rightarrow F(x) = -2x^{-0,5} = \frac{2}{\sqrt{x}}; F(b)-F(1) = 2 + \frac{2}{\sqrt{b}} \Rightarrow U_{-1,5}= 2\)
Beispiel:  \( q = –1,01: F(x) = -100x^{-\frac{1}{100}} = -\frac{100}{\sqrt[100]{x}}; F(b)-F(1) = 100 + \frac{100}{\sqrt[100]{b}} \Rightarrow U_{-1,01}= 100\)

Da für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt: Für \( b \rightarrow \infty\) folgt, dass \(U_q\) für alle \(q < -1 \) existiert und für alle \( q \in [-1;0] \) nicht.