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Lösung Uneigentliches Integral

Version 2.1 von akukin am 2023/11/12 14:34

An der Zeichnung, spätestens mit Blick in die Merkhilfe, kann man erkennen, dass die Fläche U für q = –2 kleiner ist als für q = –1. Man kann sich logisch herleiten, dass die Fläche für q = –3, q = –4, …, immer kleiner wird. Man startet also bei einem beliebig gewählten q und prüft, ob U existiert.

Beispiel: 
q = –2: f(x)=x^{-2} \rightarrow F(x) = -2x^{-1} = -\frac{2}{x} ; F(b)-F(1) = -\frac{2}{b}+2=2-\frac{2}{b}

Man sieht durch Probieren mit dem WTR oder logische Überlegung, dass U_{-2}=2 ist.
Gegebenenfalls kann man noch fürq = -3 oder q = -4 oder q = -10 die vorherige Vermutung prüfen, dass für kleinere q das uneigentliche Integral kleiner wird, also erst recht existiert.

Beispiel: 
q = –10: f(x)=x^{-10} \rightarrow F(x) = -\frac{1}{9}x^{-9} = -\frac{1}{9x^9} ; F(b)-F(1) = \frac{1}{9}-\frac{1}{9b^2} \Rightarrow U_{-10}=\frac{1}{9}

Man sieht durch Probieren mit dem WTR oder logische Überlegung, dass U_{-2}=2 ist.

Wir wählen als nächstes also Werte für q, die näher an 0 liegen.

Beispiel: 
q = –1: f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \rightarrow F(x) = \ln(x); F(b)-F(1) = \ln(b)-\ln(1)\stackrel{\ln(1)=0}{=}\ln(b) \Rightarrow U_{-1}\notin \mathbb{R}

„Die Grenze“ verläuft also zwischen –2 und –1:

Beispiel:  q = –1,5: f(x)=x^{-1,5} \rightarrow F(x) = -2x^{-0,5} = \frac{2}{\sqrt{x}}; F(b)-F(1) = 2 + \frac{2}{\sqrt{b}} \Rightarrow U_{-1,5}= 2
Beispiel:  q = –1,01: F(x) = -100x^{-\frac{1}{100}} = -\frac{100}{\sqrt[100]{x}}; F(b)-F(1) = 100 + \frac{100}{\sqrt[100]{b}} \Rightarrow U_{-1,01}= 100

Da für alle n \in \mathbb{N}  gilt: Für b \rightarrow \infty{{\formula}} folgt, dass {{formula}} U_q {{/formula}} für alle //q// < -1 existiert und für alle {{formula}}q in [-1;0] {{/formula}} nicht.