Erarbeitungsaufgabe Untersumme

1  Abschätzungs und Untersumme  (15 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{4}x^2+1\). Gesucht ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der \(x\)-Achse im Intervall \([0;4]\).

a)

Schätze den Flächeninhalt mit der Methode „Kästchen zählen“ ab. Bestimme, wie groß der Flächeninhalt mindestens bzw. höchstens ist.

Das Intervall wird zur genaueren Berechnung der Fläche in \(n\) gleich große Teilintervalle der Breite \(\Delta x\) aufgeteilt.

\(n=1\)	\(n=2\)	\(n=4\)

b) Gib mithilfe der obigen Abbildungen jeweils \(\Delta x\) an. Beschreibe, wie sich dies jeweils berechnen lässt.

*) Gib eine Berechnungsformel an, wie sich für allgemeines \(n\) bei einem gegebenen Intervall \([a;b]\) die Breite \(\Delta x\) der Teilintervalle berechnen lässt.

c) Beschreibe anhand der Graphen, wie sich jeweils die Höhe der Rechtecke berechnen lässt.

d) Berechne für \(n=2\) und \(n=4\) die rot schraffierte Rechtecksumme und vergleiche die Ergebnisse.

e) Bestimme für \(n=8\) die Anzahl der Rechtecke sowie deren Breite \(\Delta x\).
Zeichne die zugehörigen Rechtecke in die Abbildung unten ein und bestimme die neue Näherung der Fläche.