Lösung Abschätzungs und Untersumme

Zuletzt geändert von akukin am 2024/06/05 21:34

a) Beim Abzählen kommt man in etwa auf 36 Kästchen (da die Methode nicht sehr genau ist, kann die gezählte Kästchenmenge selbstverständlich etwas abweichen). Da jedes Kästchen einen Flächeninhalt von 0,5 \cdot 0,5= 0,25 \ \text{FE} besitzt, beträgt der gesamte Flächeninhalt in etwa 0,25 \cdot 36 = 9 \ \text{FE}

Zum Vergleich: der tatsächliche Flächeninhalt beträgt \frac{28}{3}\approx 9,33 \ \text{FE}. 

b) Für n=1 ist \Delta x=4, für n=2 ist \Delta x=2 und für n=4: \ \Delta x=1

Die Breite berechnet sich, indem man die Breite des Gesamtintervalls (4) durch die Anzahl an Teilintervallen teilt (d.h. \Delta x=\frac{4}{n})

Die allgemeine Berechnungsformel lautet \Delta x= \frac{a}{n}.

c) Die Höhe der Rechtecke berechnet sich indem man den den kleinsten Funktionswert des jeweiligen Teilintervalls bestimmt.

d) Für n=2 ergibt sich als Rechtecksumme 2\cdot 1 + 2 \cdot 2=6 und n=4: 1\cdot f(0) + 1 \cdot f(1)+ 1 \cdot f(2)+ 1 \cdot f(3)= 1\cdot 1 + 1 \cdot 1,25+ 1 \cdot 2+ 1 \dot 3,25=7,5.
Man sieht, dass die Rechtecksumme für n=4 dem tatsächlichen Flächeninhalt deutlich näher kommt.

e) Die Breite \Delta x der 8 Rechtecke beträgt jeweils \Delta x=0,5. Für die Fläche (Rechteckssumme) ergibt sich

\begin{align*} &0,5 \cdot f(0)+0,5 \cdot f(0,5)+0,5 \cdot f(1)+0,5 \cdot f(1,5)+0,5 \cdot f(2)+0,5 \cdot f(2,5)+ 0,5 \cdot f(3)+0,5 \cdot f(3,5) \\ &= 0,5 \cdot 1+0,5 \cdot 1,0625 +0,5 \cdot 1,25 +0,5 \cdot 1,5625 +0,5 \cdot 2+0,5 \cdot 2,5625+ 0,5 \cdot 3,25+0,5 \cdot 4,0625 \\ &=8,375 \end{align*}

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