Wiki-Quellcode von Lösungen
Version 12.1 von kickoff kickoff am 2023/10/09 16:10
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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1.1 | 1 | == Flächeninhalte, Anwendung == |
| 2 | |||
| 3 | {{lösung}} | ||
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7.1 | 4 | a) |
| 5 | Die trigonometrische Funktion ist 2 LE nach oben verschoben. Die Amplitude hat den Wert 2. Die Periode ergibt sich mit {{formula}} p=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4 {{/formula}}. Damit ergeben sich die Tiefpunkte als Schnittstelle mit der x-Achse bei {{formula}} x=3+4*k; k\in\mathbb{R} {{/formula}}. Siehe Skizze. | ||
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3.1 | 6 | [[image:Bild_2023-10-09_144752764.png]] |
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7.1 | 7 | |
| 8 | Die gesuchte Fläche berechnet sich also zum Beispiel so: | ||
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5.1 | 9 | {{formula}} |
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7.1 | 10 | \int_{-1}^3 f(x)dx = \int_{-1}^3 (2+2sin(\frac{\pi}{2}x))dx = [2x - \frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{2}x)]_{-1}^3 =(2*3-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{2}*3))-(2*(-1)-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{2}*(-1)))=8 |
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5.1 | 11 | |
| 12 | {{/formula}} | ||
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6.1 | 13 | |
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7.1 | 14 | Die gesuchte Fläche ist 8 FE groß. |
| 15 | |||
| 16 | b) | ||
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9.1 | 17 | [[image:Bild_2023-10-09_152119094.png]] |
| 18 | Gesucht ist das Rotationsvolumen der Fläche zwischen K und der Gerade mit {{formula}} y=2{{/formula}}. Für die Fläche zwischen zwei Graphen gilt {{formula}}\int_{a}^b (f(x)-g(x))dx {{/formula}}, wenn {{formula}} f(x)\geq g(x) {{/formula}}. | ||
| 19 | Das Rotationsvolumen berechnet sich mit {{formula}}V= \pi \int_{a}^b (f(x))^2 dx {{/formula}}. | ||
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7.1 | 20 | |
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9.1 | 21 | Für das gesuchte Volumen gilt: |
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7.1 | 22 | |
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9.1 | 23 | {{formula}} |
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10.1 | 24 | \pi \int_{0}^2 (f(x))^2 dx - \pi \int_{0}^2 2^2 dx = \pi \int_{0}^2 (2+2sin(\frac{\pi}{2}x))^2 - 2^2 dx = \pi * [\frac{1}{3}(2+2sin(\frac{\pi}{2}x))^3*\frac{1}{\pi*cos(\frac{\pi}{2}x)}-4x]_{0}^2 |
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9.1 | 25 | |
| 26 | {{/formula}} | ||
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6.1 | 27 | {{/lösung}} |