Lösung Asymptote gleich Tangente

Bestimme einen Funktionsterm, dessen Asymptote zugleich Tangente an den Funktionsgraphen ist.

Hinweis: Senkrechte Asymptoten/ Tangenten wollen wir außen vor lassen, da dann Asymptote und Tangente an der selben Stelle liegen müssten, was sich nur mit abschnittsweise definierten Funktionen konstruieren ließe.

Waagerechte Asymptoten haben Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen mit negativen Exponenten. Beides funktioniert ..

Exponentialfunktion · Potenzfunktion:
Die standard Exponentialfunktionen nähern sich asymptotisch der x-Achse. Verknüpft man sie multiplikativ mit einer Normalparabel, erhält man z.B. \(f(x)=e^x \cdot x^2\). Diese nähert sich für \(x\rightarrow -\infty\) der x-Achse an und berührt die x-Achse an der Stelle \(x=0\) (doppelte Nullstelle).

Transformierte Potenzfunktion · Potenzfunktion:
Die transformierte Potenzfunktion \(p(x)=(x-1)^{-3}\) nähert sich asymptotisch der x-Achse an. Multipliziert mit \(x^2\) erhalten wir eine Funktion mit den gewünschten Eigenschaften: \(f(x)=(x-1)^{-3}\cdot x^2\) (hier wieder doppelte NS bei \(x=0\)).