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Zuletzt geändert von akukin am 2026/04/20 21:18
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1 Aufgrund des Verlaufs des Graphen lässt sich vermuten, dass es sich entweder um eine trigonometrische Funktion oder eine ungerade ganzrationale Funktion mindestens dritten Grades handelt.
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3 **1.Trignometrische Funktion:**
4 Da der gegebene Graph periodisch verläuft, kann er durch eine trigonometrischen Funktion beschreiben werden.
5 Weil er durch den Ursprung verläuft, bietet sich als Ansatz eine Sinusfunktion an:
6 {{formula}}f(x)=a\cdot \sin(b(x-c))+d{{/formula}}
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8 Wir bestimmen die einzelnen Parameter:
9 {{formula}}a{{/formula}}: Die Funktionswerte liegen zwischen −3 und 3. Somit ist die Amplitude gegeben durch {{formula}}a=3{{/formula}}.
10 {{formula}}c{{/formula}} und {{formula}}d{{/formula}}: Da keine Verschiebung vorliegt, ist {{formula}}c=d=0{{/formula}}.
11 {{formula}}b{{/formula}}: Zwischen Minimum bei {{formula}}x=−1{{/formula}} und Maximum bei {{formula}}x=1{{/formula}} liegt eine halbe Periode. Somit beträgt die volle Periodenlänge {{formula}}p=4{{/formula}}. Damit ist {{formula}}b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}{{/formula}}.
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13 Insgesamt: {{formula}}f(x)=3\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right){{/formula}}
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15 **2.Ganzrationale Funktion:**
16 Da der Graph zwei Extremstellen besitzt (an der Stelle {{formula}}x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=1{{/formula}}), muss die Funktion mindestens dritten Grades sein.
17 Zudem ist der Graph (näherungsweise) punktsymmetrisch zum Ursprung. Daher enthält der Funktionsterm nur ungerade Potenzen.
18 Wir wählen als Ansatz: {{formula}}f(x)=a_1x^3+a_3x{{/formula}}.
19 Aus dem Schaubild können wir beispielsweise die Punkte {{formula}}(1|3){{/formula}} und {{formula}}(-2|0){{/formula}} entnehmen. Diese setzen wir in den Funktionsterm ein und erhalten folgendes Gleichungssystem:
20 {{formula}}
21 \begin{align*}
22 3&=a_1+a_3 \\
23 0&=-8 a_1-2a_3
24 \end{align*}
25 {{/formula}}
26 Dieses lösen wir und erhalten {{formula}}a_1=-1{{/formula}} und {{formula}}a_3=4{{/formula}}.
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28 Somit:
29 {{formula}}f(x)=-x^3+4x{{/formula}}
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31 **Hinweis:** Der Funktionsterm ist nicht eindeutig bestimmt, da aus dem dargestellten Graphen nur ein Ausschnitt gegeben ist und somit nicht alle Eigenschaften der Funktion eindeutig festgelegt sind.