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Zuletzt geändert von Martin Stern am 2026/02/27 14:51
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Martin Stern 1.1 1 a) Es liegt eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor, da {{formula}}f(-x)=f(x){{/formula}}.
2 Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind aufgrund der aus der Wertetabelle erkennbaren Vorzeichenwechsel von {{formula}}f{{/formula}} zwischen {{formula}}x=-2{{/formula}} und {{formula}}x=-1{{/formula}}, zwischen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}}, zwischen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=3{{/formula}} sowie zwischen {{formula}}x=-3{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}} (Achsensymmetrie!) zu finden. Der y-Achsenschnittpunkt zwischen {{formula}}S_y(0|5){{/formula}}. Die Extrempunkte sind: {{formula}}T_1(-2|-3){{/formula}}, {{formula}}T_2(2|-3){{/formula}} und {{formula}}H(0|5){{/formula}}. Die Wendepunkte sind aufgrund der aus der Wertetabelle erkennbaren Vorzeichenwechsel von {{formula}}f''{{/formula}} zwischen {{formula}}x=-2{{/formula}} und {{formula}}x=-1{{/formula}} sowie zwischen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}}.
3
Martin Stern 2.1 4 b) Aufgrund der Achsensymmetrie zur y-Achse ergibt sich als Ansatz:
5 {{formula}}f(x)=ax^4+cx^2+e{{/formula}}
6 {{formula}}f'(x)=4ax^3+2cx{{/formula}}
7 {{formula}}f''(x)=12ax+2c{{/formula}}
8 {{formula}}H(0|5){{/formula}} ist Kurvenpunkt: {{formula}}f(0)=5{{/formula}}: {{formula}}e=5{{/formula}}
9 {{formula}}T_2(2|-3){{/formula}} ist Kurvenpunkt: {{formula}}f(2)=-3{{/formula}}: {{formula}}16a+4c+5=-3{{/formula}}
10 {{formula}}T_2(2|-3){{/formula}} ist Tiefpunkt: {{formula}}f'(2)=0{{/formula}}: {{formula}}32a+4c=0{{/formula}}
11 Durch Lösen des entstandenen linearen Gleichungssystems erhält man {{formula}}a=\frac{1}{2}{{/formula}} und {{formula}}c=-4{{/formula}}. Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}x^4-4x^2+5{{/formula}}.
12
Martin Stern 3.1 13 c) Alternativ kann die Funktionsgleichung mit einem Produktansatz für {{formula}}f'(x){{/formula}} schneller bestimmt werden:
14 {{formula}}f'(x)=ax(x+2)(x-2){{/formula}}
15 {{formula}}f'(x)=ax(x^2-4){{/formula}}
16 Mit z.B. {{formula}}f'(-1)=6{{/formula}} ergibt sich {{formula}}a=2{{/formula}}.
17 Somit lautet {{formula}}f'(x)=2x^3-8x{{/formula}}.
18 Die Stammfunktion von {{formula}}f'{{/formula}} ist {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}x^4-4x^2+e{{/formula}}.
19 Mit {{formula}}f(0)=5{{/formula}} lautet die gesuchte Funktionsgleichung: {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}x^4-4x^2+5{{/formula}}.