Lösung Parameter bestimmen

Um die fehlenden Parameter zu stimmen, setzen wir die gegebenen Punkte jeweils in die Funktionsgleichung ein:

1. \(S_x(-2|0)\): \(0=ae^{k(-2)}(-2-c)\)

   Nach dem Satz vom Nullprodukt muss mindestens einer der drei Faktoren \(a, e^{k(-2)}\) oder \((2-c)\) null sein, damit die Gleichung erfüllt ist.
   Da für die e-Funktion für alle \(k\)  \(e^{k(-2)}\neq 0\) gilt, muss somit entweder \(a=0\) oder \((-2-c)=0\) gelten.

   Für \(a=0\) würde die entstehende Nullfunktion \(f(x)=0\) jedoch durch keine der gegebenen Punkte gehen.

   Somit muss \((-2-c)=0\) gelten und wir erhalten durch Umstellen \((-2-c)=0 \ \Leftrightarrow \ c=-2\).

   2.

   \(S_y(0|6)\): \(6=ae^{k\cdot 0}(0-c)=ae^0(-c)=a\cdot 1\cdot (-c)=a\cdot (-c)\)

   Wir wissen bereits, dass \(c=-2\) ist. Somit erhalten wir:
   \(\begin{align*} 6 &=a\cdot (-c) \\ 6&=a\cdot 2 \mid :2 \\ \Leftrightarrow a&=3 \end{align*}\)

   Bisher lautet die Funktion also \(f(x)=3e^{kx}(x+2)\)

   3.

   \(P(1|1)\): \(1=3e^{k\cdot 1}(1+2)=3e^k\cdot 3= 9e^k\)

   Umstellen nach \(k\):
   \(\begin{align*} 1=9e^k \mid : 9 e^k=\frac{1}{9} \mid \ln k=\ln\left(\frac{1}{9}\right) \end{align*}\)