Wiki-Quellcode von BPE 15.1 Innermathematische und anwendungsorientierte Optimierung

Version 44.6 von Holger Engels am 2026/02/04 07:40

version	line-number	content
17.1	1	{{seiteninhalt/}}
1.2	2
5.1	3	[[Kompetenzen.K6]] Ich kann auf der Grundlage meiner Kenntnisse aus der Elementargeometrie Optimierungsaufgaben mathematisch beschreiben
	4	[[Kompetenzen.K6]] Ich kann auf der Grundlage meiner Kenntnisse aus der Analysis Optimierungsaufgaben mathematisch beschreiben
	5	[[Kompetenzen.K6]] Ich kann auf der Grundlage meiner Kenntnisse aus der Vektorgeometrie Optimierungsaufgaben mathematisch beschreiben {{niveau}}e{{/niveau}}
	6	[[Kompetenzen.K6]] Ich kann auf der Grundlage meiner Kenntnisse aus der Stochastik Optimierungsaufgaben mathematisch beschreiben {{niveau}}e{{/niveau}}
17.1	7	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K3]] Ich kann die Lösungen einer Optimierungsaufgabe mithilfe unterschiedlicher Lösungsstrategien bestimmen
5.1	8	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann Lösungsansätze für Optimierungsaufgaben beurteilen
	9	[[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Gültigkeitsbereich meiner mathematischen Beschreibung interpretieren
17.1	10	[[Kompetenzen.K6]] [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das Vorgehen zur Lösung von Optimierungsproblemen in unterschiedlichen Kontexten erläutern
1.1	11
33.1	12	{{aufgabe id="Optimierungsaufgabe beschreiben" afb="I" kompetenzen="K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
43.2	13	Gegeben ist eine Funktion {{formula}}f{{/formula}}. Ihr Schaubild ist {{formula}}K_f{{/formula}}. Die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} und die x-Achse schließen eine Fläche ein. Zeichne in diese Fläche ein achsenparalleles Rechteck ein, von dem zwei Eckpunkte auf der Kurve und zwei Eckpunkte auf der x-Achse liegen. Beschreibe, wie man das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt berechnen kann.
33.1	14
41.1	15	[[image:Optimierungsaufgabebeschreiben.svg\|\|width="450"]]
33.1	16	{{/aufgabe}}
	17
41.1	18	{{aufgabe id="Abstand zweier Kurvenpunkte berechnen" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin" zeit="15"}}
27.3	19	Gegeben sind zwei Funktionen {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} durch {{formula}}f(x)=-e^{-0,25x}-0,5x+2{{/formula}} und {{formula}}g(x)=-0,5x+1{{/formula}}. Ihre Graphen sind {{formula}}K_f{{/formula}} und {{formula}}K_g{{/formula}}.
	20	Eine Gerade mit der Gleichung {{formula}}x=u{{/formula}} und {{formula}}-6\leq u \leq 3{{/formula}} schneidet {{formula}}K_f{{/formula}} im Punkt {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}K_g{{/formula}} im Punkt {{formula}}Q{{/formula}}. Berechnen Sie den maximalen Abstand der Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
42.1	21	[[image:Optimieren_Streckenlänge.svg\|\|width="450"]]
27.1	22	{{/aufgabe}}
	23
43.1	24	{{aufgabe id="Zelt" afb="III" kompetenzen="K4,K5" quelle="KMap" zeit="15" links="[[Interaktives Erkunden>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Differentialrechnung/Optimieren#erkunden]]"}}
1.2	25
	26	Für ein Zelt ist vorgegeben, dass es die Form einer senkrechten Pyramide mit quadratischer Grundfläche haben soll. Für diese Form soll nun bei einer gegebenen Zeltstangenlänge von 2,5 m das Volumen V maximiert werden, indem die Kantenlänge a der Grundfläche variiert wird. Folgende Formel gilt für das Volumen einer Pyramide:
	27
22.1	28	{{formula}}V= \frac{1}{3}\cdot a^2 \cdot h{{/formula}}
1.2	29
42.2	30	Ermittle das maximale Volumen! Gib die dazugehörige Kantenlänge //a// und Höhe //h// an!
1.2	31	{{/aufgabe}}
6.1	32
43.1	33	{{aufgabe id="Flying Fox" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martina Wagner, Holger Engels" zeit="8"}}
44.6	34	Das Gelände sei durch die Funktion //g// mit {{formula}}g(x)=-\frac{1}{160}x(x-2)(x-16){{/formula}} modelliert. Die Seilrutsche durch die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{25}x^2+1{{/formula}}. Bestimme den maximalen vertikalen Abstand zwischen Seil und Berg.
42.1	35	{{/aufgabe}}
	36
43.1	37	{{aufgabe id="Zaun" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Martin Stern" zeit="10"}}
22.2	38	Du hast 110 Meter Zaun zur Verfügung und möchtest eine Wiese für eine Schafweide einzäunen. Du wählst dafür eine Rechteckfläche. Auf einer Seite steht dafür eine Mauer zur Verfügung. Berechne die Längen der Zaunseiten so, dass der Flächeninhalt der eingezäunten Fläche maximal ist.
7.1	39	{{/aufgabe}}
6.1	40
43.1	41	{{aufgabe id="Vier Städte" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="Jürgen Kury" zeit="12"}}
41.1	42	Vier Ortschaften A, B, C, D bilden die Eckpunkte eines Rechtecks mit den Seitenlängen a= 6 LE und b = 10 LE. Die vier Ortschaften sollen durch Straßen so verbunden werden, ..
	43	1. dass man von jeder Ortschaft direkt in jede andere fahren kann, ohne eine dritte zu passieren.
	44	1. dass die Gesamtstrecke (alle Verbindungen) minimal ist.
	45
	46	(%class=abc%)
	47	1. Bestimme qualitativ unterschiedliche Möglichkeiten, die Städte zu verbinden.
	48	1. Bestimme die optimale Position der Kreuzungspunkte, sodass die Gesamtstrecke minimal ist.
	49	{{/aufgabe}}
	50
26.1	51	{{aufgabe id="Rechteck unter Parabel" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Stern" cc="BY-SA" zeit="10"}}
23.1	52	Zwei Eckpunkte eines symmetrisch zur y-Achse liegenden Rechtecks sind auf der x-Achse, zwei Eckpunkte auf der Parabel mit der Gleichung {{formula}}y=-1,25x^2+5 {{/formula}} für {{formula}}-2<x<2 {{/formula}}. Der Flächeninhalt soll maximal sein. Wie lang müssen die Seiten des Rechtecks sein?
9.1	53	{{/aufgabe}}
13.1	54
43.1	55	{{aufgabe id="Lampen" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K5" quelle="Martin Stern" cc="BY-SA" zeit="20"}}
13.1	56	Eine Baumarktkette verkauft monatlich 1100 Stück einer Lampe zum Stückpreis von 30 €. Die Marketingabteilung hat durch eine Untersuchung festgestellt, dass sich der monatliche Absatz bei jeder Senkung des Preises um 1 € um 50 Stück erhöhen würde.
	57
	58	1. Berechne den Stückpreis, bei dem die monatlichen Einnahmen am größten sind.
	59	1. Wie hoch sind die Einnahmen in diesem Fall?
	60	{{/aufgabe}}
14.1	61
43.1	62	{{aufgabe id="Fluß" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K5" quelle="Martin Stern" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="25"}}
17.1	63	Ein gut trainierter Sportler sonnt sich an einem Fluss, als er per Handy einen Hilferuf von seiner Freundin erhält. Diese befindet sich am anderen Ufer 1000 Meter flussabwärts. Er möchte möglichst schnell zu ihr gelangen. Der Fluss ist 500 Meter breit und verläuft in diesem Abschnitt gerade. Auf der anderen Seite des Flusses ist ein Weg. Der Sportler kann auf solch einem Weg 300 Meter in einer Minute zurücklegen. Schwimmend erreicht er eine Geschwindigkeit von 50 m/min.
14.1	64
	65	Bestimme die minimale Zeit sowie die Länge der zugehörigen Gesamtstrecke, die unser Held zu seiner Freundin zurücklegt. Vernachlässige hierbei die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses.
	66	{{/aufgabe}}
16.1	67
26.1	68	{{aufgabe id="Fenster" afb="III" kompetenzen="K2,K3,K5,K6" quelle="Martin Stern" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="30"}}
17.1	69	Ein Fenster besteht aus einem Rechteck mit einem aufgesetzten Halbkreis. Aus bautechnischen Gründen darf der Umfang des Fensters die Länge 3,50 m nicht übersteigen. Für das Rechteck und den Halbkreis werden verschiedene Glassorten verwendet, die 10 % (Rechteck) und 30 % (Halbkreis) des einfallenden Lichtes absorbieren.
16.1	70
43.1	71	Bestimme optimale Maße für das Fenster, sodass möglichst viel Licht einfällt.
16.1	72	{{/aufgabe}}
17.1	73
44.1	74	=== Aufgaben zur Vektorgeometrie ===
	75
44.4	76	{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels, Martina Wagner" zeit="8"}}
	77	In einem räumlichen Koordinatensystem ist der Punkt {{formula}}P(1\|1\|1){{/formula}} und die Gerade
	78
	79	{{formula}}{{/formula}}
	80
	81	Bestimme den minimalen Abstand zwischen Punkt und Gerade.
	82	{{/aufgabe}}
	83
	84	=== Aufgaben zur Stochastik ===
	85
	86	{{aufgabe id="Binomialverteilung" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Jürgen Kury" zeit="7"}}
44.1	87	Gegeben ist die binomialverteilte Zufallsvariable
	88
44.2	89	{{formula}}B_{20,x}=\binom{20}{5}x^5(1-x)^{15}{{/formula}}
44.1	90
	91	Bestimme das {{formula}}p=x{{/formula}}, für das die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Treffer zu erzielen, maximal ist.
	92
	93	Hinweis: Für die Ermittlung der Lösung ist ein technisches Hilfsmittel, wie z.B. [[GeoGebra>>https://geogebra.org/calculator]].
	94	{{/aufgabe}}
	95
17.1	96	{{seitenreflexion/}}

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