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Wiki-Quellcode von Lösung Fenster

Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 10:51
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1 [[image:Kirchenfenster.PNG||width="300" style="float: right"]]
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3 Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:
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5 {{formula}}A_{Rechteck} = x \cdot y{{/formula}}
6 {{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}}
7 {{formula}} U_{Rechteck} = 2x+y {{/formula}}
8 {{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}}
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10 Die **Hauptbedingung** lautet
11 {{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}.
12
13 Die **Nebenbedingung** lautet
14 {{formula}} U= 2x + y + 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}.
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16 Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich
17 {{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}}
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19 Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere **Zielfunktion**
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21 {{formula}}
22 \begin{align*}
23 L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
24 &=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
25 \end{align*}
26 {{/formula}}
27
28 mit den ersten beiden Ableitungen
29 {{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
30 {{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}.
31
32 Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich
33 {{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
34 und somit folgt nach Umstellen {{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}.
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36 Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden:
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38 {{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
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40 An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;\frac{4}{\pi +1}]{{/formula}} erhält man
41 {{formula}}L(0)=0{{/formula}} und {{formula}}L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}}.
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43 Demnach liegt bei {{formula}}y \approx 0,893{{/formula}} ein globales Maximum vor, denn {{formula}}L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}} (und {{formula}}L(0,893)>L(0)=0{{/formula}}).
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45 Für {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich also
46 {{formula}}x= -\frac{1}{2}\cdot 0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60{{/formula}}
47
48 Schlussendlich erhält man
49 {{formula}}A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358{{/formula}}m^^2^^
50 {{formula}}A_{Haklkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}\cdot 0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31{{/formula}}m^^2^^
51 und damit
52 {{formula}}A_{ges,max}= 0,5358{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}+0,31{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}=0,8458{{/formula}}m^^2^^