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Version 10.1 von akukin am 2024/01/13 21:22

Kirchenfenster.PNG

Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:

A_{Rechteck} = x \cdot y
A_{Halbkreis} = \pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} A_{Kreis}= \pi \cdot r^2
U_{Rechteck} = 2x+y
U_{Halbkreis} = 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} U_{Kreis}=2\pi r

Die Hauptbedingung lautet
L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7.

Die Nebenbedingung lautet
U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 .

Nach Umstellen der Nebenbedingung nach x ergibt sich
x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75

Einsetzen von x in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion

\begin{align*} L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\ &=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y \end{align*}

Mit den ersten beiden Ableitungen
L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575
L''(y)\approx -1,76.

Durch die notwendige Bedingung L'(y)=0 ergibt sich
0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575
und somit folgt nach Umstellen y\approx 0,893.

Nun muss noch die hinreichende Bedingung (L''(y) \neq 0) geprüft werden:
L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow Maximum

An den Randwerten des Definitionsbereiches D=]0;\frac{4}{\pi +1] erhält man
L(0)=0 und L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698.

Demnach liegt bei y \approx 0,893 ein globales Maximum vor, denn L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698 (und L(0,893)>L(0)=0).

Für x ergibt sich also
x= -\frac{1}{2}0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60

Schlussendlich erhält man
A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358m2
A_{Hakbkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31m2
und damit
A_{ges,max}= 0,5358m2 +0,31m2 =0,8458m2