Wiki-Quellcode von Lösung Fenster
Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 10:51
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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13.1 | 1 | [[image:Kirchenfenster.PNG||width="300" style="float: right"]] |
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6.1 | 2 | |
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8.1 | 3 | Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt: |
| 4 | |||
| 5 | {{formula}}A_{Rechteck} = x \cdot y{{/formula}} | ||
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11.1 | 6 | {{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}} |
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8.1 | 7 | {{formula}} U_{Rechteck} = 2x+y {{/formula}} |
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11.1 | 8 | {{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}} |
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8.1 | 9 | |
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16.1 | 10 | Die **Hauptbedingung** lautet |
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11.1 | 11 | {{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}. |
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8.1 | 12 | |
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16.1 | 13 | Die **Nebenbedingung** lautet |
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11.1 | 14 | {{formula}} U= 2x + y + 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}. |
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8.1 | 15 | |
| 16 | Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich | ||
| 17 | {{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}} | ||
| 18 | |||
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16.1 | 19 | Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere **Zielfunktion** |
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9.1 | 20 | |
| 21 | {{formula}} | ||
| 22 | \begin{align*} | ||
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11.1 | 23 | L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\ |
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8.1 | 24 | &=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y |
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9.1 | 25 | \end{align*} |
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8.1 | 26 | {{/formula}} |
| 27 | |||
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11.1 | 28 | mit den ersten beiden Ableitungen |
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8.1 | 29 | {{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}} |
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9.1 | 30 | {{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}. |
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8.1 | 31 | |
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9.1 | 32 | Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich |
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8.1 | 33 | {{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}} |
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10.1 | 34 | und somit folgt nach Umstellen {{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}. |
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9.1 | 35 | |
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10.1 | 36 | Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden: |
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11.1 | 37 | |
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8.1 | 38 | {{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum |
| 39 | |||
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11.1 | 40 | An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;\frac{4}{\pi +1}]{{/formula}} erhält man |
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10.1 | 41 | {{formula}}L(0)=0{{/formula}} und {{formula}}L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}}. |
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8.1 | 42 | |
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11.1 | 43 | Demnach liegt bei {{formula}}y \approx 0,893{{/formula}} ein globales Maximum vor, denn {{formula}}L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}} (und {{formula}}L(0,893)>L(0)=0{{/formula}}). |
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10.1 | 44 | |
| 45 | Für {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich also | ||
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11.1 | 46 | {{formula}}x= -\frac{1}{2}\cdot 0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60{{/formula}} |
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10.1 | 47 | |
| 48 | Schlussendlich erhält man | ||
| 49 | {{formula}}A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358{{/formula}}m^^2^^ | ||
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11.1 | 50 | {{formula}}A_{Haklkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}\cdot 0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31{{/formula}}m^^2^^ |
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10.1 | 51 | und damit |
| 52 | {{formula}}A_{ges,max}= 0,5358{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}+0,31{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}=0,8458{{/formula}}m^^2^^ |