Änderungen von Dokument Lösung Fluß

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

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1		-XWiki.martinstern
	1	+XWiki.akukin

Inhalt

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1		-[[image:L12.png]]
2		-[[image:L13.png]]
3		-[[image:L14.png]]
4		-[[image:L15.png]]
	1	+[[image:Fluss.PNG||width="280" style="float: right"]]
	2	+
	3	+__Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}}
	4	+Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}};
	5	+Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}}
	6	+
	7	+__Gesucht:__ {{formula}}x{{/formula}}
	8	+
	9	+Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung:
	10	+{{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}}
	11	+
	12	+Die Nebenbedingungen lauten:
	13	+{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}{{/formula}}
	14	+{{formula}}\overline{DC}= 1000 - x{{/formula}}
	15	+
	16	+Somit lautet die Zielfunktion:
	17	+{{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}}
	18	+
	19	+mit den Ableitungen
	20	+
	21	+{{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}}
	22	+{{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}}
	23	+
	24	+Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich
	25	+
	26	+{{formula}}
	27	+\begin{align*}
	28	+&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\
	29	+\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
	30	+\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\
	31	+\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\
	32	+\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\
	33	+\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\
	34	+\Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} &
	35	+\end{align*}
	36	+{{/formula}}
	37	+
	38	+Aufgrund des Zusammenhanges kommt nur die positive Lösung in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
	39	+{{formula}}S''\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum
	40	+
	41	+{{formula}}S\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}

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