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Lösung Fluß

Version 19.1 von akukin am 2024/01/17 16:44

Fluss.PNG

Gegeben: \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};
Geschwindigkeit von A nach D: v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}};
Geschwindigkeit von D nach C: v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}

Gesucht: Wie groß muss x sein, sodass er möglichst schnell von A nach C kommt?

Da der Sportler den Weg von D zu C 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von A zu D, lautet die Hauptbedingung:

S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}

Die Nebenbedingungen lauten:
\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}
\overline{DC}= 1000 - x

Somit lautet die Zielfunktion:
S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x

mit den Ableitungen

S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1
S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}

Durch die notwendige Bedingung S'(x)=0 ergibt sich

\begin{align*} &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\ \Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\ \Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\ \Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\ \Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\ \Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\ \Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} & \end{align*}

Dabei kommt nur die positive positive Lösung x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow Minimum

Einsetzen in die Zielfunktion liefert

S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04.

An den Randwerten des Definitionsbereiches D=[0;1000] erhält man
S(0)=4000 und S(1000)\approx 6708.

Demnach liegt bei x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7} ein globales Minimum vor, denn S(x_1)\approx 3958,04 < 4000( (und S(x_1)\approx 3958,04 < 6708).

Nun setzt man x_1 in die NB ein:
\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}
\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}

\implies \overline{AD} + \overline{DC} = 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}

Für die Dauer ergibt sich jeweils
t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}
t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min}

Und damit insgesamt
t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow 13 min 11 sec