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Wiki-Quellcode von Lösung Lampen

Version 4.1 von akukin am 2024/01/18 11:17
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1 [[image:L10.png]]
2 [[image:L11.png]]
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4 *Aktuelle Menge: 1100 Stück
5 *Aktueller Preis: 30€
6 *Preisänderung: -1€ {{formula}} \rightarrow {{/formula}} + 50St
7
8 Die **Hauptbedingung** lautet
9 {{formula}} E = x \cdot p {{/formula}} mit {{formula}}x{{/formula}}= Menge und {{formula}}p{{/formula}}= Preis
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11 Die **Nebenbedingungen** lauten:
12 {{formula}}x=1100+50z{{/formula}}
13 {{formula}}p= 30-z{{/formula}}
14 Dabei ist {{formula}}z{{formula}} die Preissenkung in €.
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16 Damit ist die **Zielfunktion** gegeben durch
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18 {{formula}}E(z)=(1100+50z)(30-z)=-50z^2+400z+33000{{/formula}}
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20 mit den Ableitungen
21 {{formula}}E'(z)=-100z+400{{/formula}}
22 {{formula}}E''(z)=-100{{/formula}}
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24 Notwendige Bedingung: {{formula}}E'(z)=0{{/formula}}:
25 {{formula}}
26 \begin{align*}
27 &\: -100z+400&=0\\
28 \Leftrightarrow &\: z&=4
29 \end{align*}
30 {{/formula}}
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32 Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung(hinreichende Bedingung) ergibt
33 {{formula}}E''(4)=-100<0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
34
35 Es ist
36 {{formula}}E(4)=-50\cdot 4^2+400\cdot 4+3300{{/formula}}.
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38 An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;30]{{/formula}} erhält man
39 {{formula}}E(0)=33000{{/formula}} und {{formula}}E(30)=0{{/formula}}.
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41 Damit liegt bei {{formula}}z=4{{/formula}} ein globales Maximum vor.
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43 Einsetzen von {{formula}}z=4{{/formula}} in die NB:
44 {{formula}}x= 1100+50\cdot 4 = 1300 \text{St}{{/formula}}
45 {{formula}}p=30-4 = 26 \text{€}{{/formula}}.
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47 Die monatlichen Einnahmen sind somit bei einem Stückpeis von 26€ am höchsten.