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Wiki-Quellcode von Lösung Lampen

Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 10:21
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1 * Aktuelle Menge: 1100 Stück
2 * Aktueller Preis: 30€
3 * Preisänderung: -1€ → +50St
4
5 Die **Hauptbedingung** lautet
6 {{formula}} E = x \cdot p {{/formula}}
7 mit {{formula}}x= \text{Menge}{{/formula}} und {{formula}}p=\text{Preis}{{/formula}}
8
9 Die **Nebenbedingungen** lauten:
10 {{formula}}x=1100+50z{{/formula}}
11 {{formula}}p= 30-z{{/formula}}
12 Dabei ist {{formula}}z{{/formula}} die Preissenkung in €.
13
14 Damit ist die **Zielfunktion** gegeben durch
15
16 {{formula}}E(z)=(1100+50z)(30-z)=-50z^2+400z+33000{{/formula}}
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18 mit den Ableitungen
19 {{formula}}E'(z)=-100z+400{{/formula}}
20 {{formula}}E''(z)=-100{{/formula}}
21
22 Notwendige Bedingung: {{formula}}E'(z)=0{{/formula}}:
23
24 {{formula}}
25 \begin{align*}
26 -100z+400&=0\\
27 \Leftrightarrow z&=4
28 \end{align*}
29 {{/formula}}
30
31 Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung(hinreichende Bedingung) ergibt
32 {{formula}}E''(4)=-100<0 \rightarrow{{/formula}} **Maximum**
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34
35 Es ist {{formula}}E(4)=-50\cdot 4^2+400\cdot 4+3300{{/formula}}.
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37 An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;30]{{/formula}} erhält man {{formula}}E(0)=33000{{/formula}} und {{formula}}E(30)=0{{/formula}}.
38
39 Damit liegt bei {{formula}}z=4{{/formula}} ein globales Maximum vor.
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42 Einsetzen von {{formula}}z=4{{/formula}} in die NB:
43 {{formula}}x= 1100+50\cdot 4 = 1300 \text{St}{{/formula}}
44 {{formula}}p=30-4 = 26{{/formula}}€.
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46 Die monatlichen Einnahmen sind somit bei einem Stückpeis von 26€ am höchsten.