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Wiki-Quellcode von Lösung Lampen

Version 5.1 von akukin am 2024/01/18 10:17
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1 *Aktuelle Menge: 1100 Stück
2 *Aktueller Preis: 30€
3 *Preisänderung: -1€ {{formula}} \rightarrow {{/formula}} + 50St
4
5 Die **Hauptbedingung** lautet
6 {{formula}} E = x \cdot p {{/formula}} mit {{formula}}x{{/formula}}= Menge und {{formula}}p{{/formula}}= Preis
7
8 Die **Nebenbedingungen** lauten:
9 {{formula}}x=1100+50z{{/formula}}
10 {{formula}}p= 30-z{{/formula}}
11 Dabei ist {{formula}}z{{formula}} die Preissenkung in €.
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13 Damit ist die **Zielfunktion** gegeben durch
14
15 {{formula}}E(z)=(1100+50z)(30-z)=-50z^2+400z+33000{{/formula}}
16
17 mit den Ableitungen
18 {{formula}}E'(z)=-100z+400{{/formula}}
19 {{formula}}E''(z)=-100{{/formula}}
20
21 Notwendige Bedingung: {{formula}}E'(z)=0{{/formula}}:
22 {{formula}}
23 \begin{align*}
24 &\: -100z+400&=0\\
25 \Leftrightarrow &\: z&=4
26 \end{align*}
27 {{/formula}}
28
29 Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung(hinreichende Bedingung) ergibt
30 {{formula}}E''(4)=-100<0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
31
32 Es ist
33 {{formula}}E(4)=-50\cdot 4^2+400\cdot 4+3300{{/formula}}.
34
35 An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;30]{{/formula}} erhält man
36 {{formula}}E(0)=33000{{/formula}} und {{formula}}E(30)=0{{/formula}}.
37
38 Damit liegt bei {{formula}}z=4{{/formula}} ein globales Maximum vor.
39
40 Einsetzen von {{formula}}z=4{{/formula}} in die NB:
41 {{formula}}x= 1100+50\cdot 4 = 1300 \text{St}{{/formula}}
42 {{formula}}p=30-4 = 26 \text{€}{{/formula}}.
43
44 Die monatlichen Einnahmen sind somit bei einem Stückpeis von 26€ am höchsten.